数据结构最小生成树之Kruskal算法

`Kruskal`算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法

大话数据结构定义

假设 N=(V,{E})。图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则社区此边而选择下一条代价最小的边，以此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

基本思想

按照权值从小到大的顺序选择n - 1条边，并保证这n - 1条边不构成回路

具体做法

首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林不产生回路，直至森林变成过一棵树为止

`Kruskal`算法图解

Graph_prim_G4

以上图G4为例，使用克鲁斯卡尔算法进行演示实现最小生成树，用parent表示

Graph_prim_G4_kruskal_details

第零步：将邻接矩阵转换为边表数组，并且按权值大小排序

第一步：将边<E,F>加入最小生成树中

边<E,F>的权值最小，故将其加入最小生成树

第二步：将边<C,D>加入最小生成树中

上一步操作后，边<C,D>的权值最小，故将其加入最小生成树

第三步：将边<D,E>加入最小生成树中

上一步操作后，边<D,E>的权值最小，故将其加入最小生成树

第四步：将边<B,F>加入最小生成树中

上一步操作后，边<C,E>

第五步：将边<E,G>加入到最小生成树中

上一步操作后，边<E,G>的权值最小，故将其加入到最小生成树中

第六步：将边<A,B>加入到最小生成树中

上一步操作后，边<F,G>加入

此时，最小生成树构造完成，含有的依次为<E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B>

`Kruskal`算法要点

对图的所有边按照权值大小排序

此问题可通过代码实例理解

将边添加到最小生成树中，如何判断是否形成回路

通过记录每个顶点在最小生成树中的终点。终点即在最小生成树中与它连通的最大顶点。每次添加一条边到最小生成树中时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合则构成回路。

Graph_prim_G4_kruskal_is_or_not_loop

在将<E,F><C,D><D,E>加入到最小生成树中后，这几条边的顶点就都有了终点

C的终点是F
D的终点是F
E的终点是F
F的终点是F

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是”与它连通的最大顶点”。虽然边<C,E>权值最小，但终点都是F，故会形成回路

`Kruskal`算法代码

`Edge`边集数组结构

typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;
  
  
  
  
   
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算法

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int k = 0;
    int parent[MAXVEX];  /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
    Edge edges[MAXEDGE];  /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */

    /* 用来构建边集数组并排序********************* */
    for(i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
    {
        for(j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            if(G.arc[i][j] < INF)
            {
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    sort(edges, &G);
    /* ******************************************* */

    printf("打印最小生成树：\n");

    for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
        parent[i] = 0;  /* 初始化数组值为0 */

    for(i = 0; i < G.numEdges; i++)  /* 循环每一条边 */
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);
        m = Find(parent, edges[i].end);
        if(n != m)  /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        {
            parent[n] = m;  /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 表示此顶点已经在生成树集合中*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }

}
  
  
  
  
   
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