大话数据结构学习笔记 - 图

图的定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为: $G(V, E) $ ，其中G表示一个图， V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合

数据元素在线性表中被称为元素，在树中被称为结点，而在图中被称为顶点(Vertext)
顶点集合V有穷非空
图中顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以为空

各种图定义

无向边：若顶点 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶对( $v_{i}, v_{j}$ )来表示
无向图：若图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则为无向图(Undirected graphs)
有向边：若从顶点 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 之间的边有方向，则称这条边为有向边，也成为弧(Arc)，用有序偶 $<v_{i}, v_{j}>$ 表示， $v_{i}$ 称为弧尾， $v_{j}$ 称为弧头
有向边：如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图(Directed graphs)
无向边用小括号()表示，有向边用尖括号<>
简单图：不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，这样的图为简单图
无向完全图：任意两个顶点都存在边的无向图。含有n个顶点的无向完全图有 $\frac {n(n - 1)} {2}$ 条边
有向完全图：任意两个顶点之间存在互为相反的两条弧的有向图。含有n个顶点的有向完全图有 $n(n - 1)$ 条边
稀疏图：有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之为稠密图
权(Weight)：与图的边或弧相关的数叫做权
网(Network)：带权的图统称为网
子图(Subgraph)：假设有两个图 $G = (V, \{E\})$ 和 $G^{'} = (V^{'}, \{E^{'}\})$ , 如果 $V^{'} \subseteq V$ 且 $E^{'} \subseteq E$ ，则称 $G^{'}$ 为 $G$ 的子图

图的顶点与边间关系

无向图的邻接点(Adjacent)：对于无向图 $G = (V, \{E\})$ ，如果边 $(v, v^{'}) \in E$ ，则称顶点 $v$ 和 $v^{'}$ 互为邻接点。即 $v$ 和 $v^{'}$ 相邻接。边 $(v, v^{'})$ 依附于顶点 $v$ 和 $v^{'}$ ，或者说 $(v, v^{'})$ 与顶点 $v$ 和 $v^{'}$ 相关联
无向图的度(Degree)：顶点v的度是和v相关联的边的数目，记为 $TD(v)$
有向图的邻接：对于有向图 $G = (V, \{E\})$ ，如果弧 $<v, v^{'}> \in E$ ，则称顶点v邻接到顶点 $v^{'}$ , 顶点 $v^{'}$ 邻接自顶点 $v$ 。弧 $<v, v^{'}>$ 和顶点 $v, v^{'}$ 相关联.
有向图的入度(InDegree)：以顶点v为头的弧的数目称为v的入度，记为 $ID(v)$
有向图的出度(OutDegree)：以顶点v为尾的弧的数目称为v的出度，记为 $OD(v)$
有向图的度：顶点v的度为 $TD(v) = ID(v) + OD(v)$
回路或环(Cycle)：第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
简单回路或简单环：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环

连通图相关术语

连通图(Connected Graph)：在无向图 $G$ 中，如果从顶点 $v$ 到顶点 $v^{'}$ 有路径，则称 $v$ 和 $v^{'}$ 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 $v_{i}, v_{j} \in E$ ， $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 都是连通的，则称 $G$ 是连通图
连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量
强连通图：在有向图 $G$ 中，如果对于每一对 $v_{i}, v_{j} \in V, v_{i} \neq v_{j}$ ，从 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 和从 $v_{j}$ 到 $v_{i}$ 都存在路径，则称 $G$ 是强连通图。
强连通分量：有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量
生成树：一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n - 1条边
有向树：如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树

图的抽象类型

ADT 图(Graph)
Data
    顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
    CreateGraph(*G, V, VR)：按照顶点集 V 和边弧集 VR 的定义构造图 G
    DestroyGraph(*G)：图 G 存在则销毁
    LocateVex(G, u)：若图 G 中存在顶点 u， 则返回图中的位置
    GetVex(G, v)：返回图 G 中顶点 v 的值
    PutVex(G, v, value)：将图 G 中顶点 v 赋值 value
    FirstAdjVex(G, *v)：返回顶点 v 的一个邻接顶点， 若顶点在 G 中无邻接顶点返回空
    NextAdjVex(G, v, *w)：返回顶点 v 相对于顶点 w 的下一个邻接顶点，若 w 是 v 的最后一个邻接点则返                            回空
    InsertVex(*G, v)：在图 G 中增添新节点 v
    DeleteVex(*G, v)：删除图 G 中顶点 v 及其相关的弧
    InsertArc(*G, v, w)：在图 G 中增点弧 <v, w>， 若 G 是无向图，还需要增添对称弧 <w, v>。
    DeleteArc(*G, v, w)：在图 G 中删除弧 <v, w>，若 G 是无向图，则还需要删除对称弧 <w, v>。
    DFSTraverse(G)：对图 G 中进行深度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用
    HFSTraverse(G)：对图 G 中进行广度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用
endADT

图的存储结构

对于图的存储结构，简单的顺序存储结构以及多重链表都无法使用，最常用的是 邻接矩阵 和 邻接表

邻接矩阵

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息

设图中G有n个顶点，则邻接矩阵是一个 $n * n$ 的方阵，定义为

Graph_adjacement_matrix_function

无向图邻接矩阵示意图
有向图邻接矩阵示意图

邻接矩阵的缺点是对于边数相对顶点较少的图，比较浪费存储空间

图的邻接矩阵存储结构

typedef char VertexType;  /* 顶点类型 */
typedef int EdgeType;     /* 边上的权值类型 */

#define MAXVEX 100        /* 最大顶点数 */


#define INFINITY 65535    /* 65535 代表无限大 */

typedef struct
{
  VertexType vexs[MAXVEX];  /* 顶点表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];  /* 邻接矩阵， 可看做边表 */
    int numVertexes, numEdges;     /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;

无向网图的邻接矩阵表示建立

/* 无向网图的邻接矩阵表示 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
  int i, j, k, w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);  /* 输入顶点数和边数 */
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)  /* 输入顶点信息，建立顶点表 */
        scanf("%d", &G->vecs[i]);
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
        for(j = 0; j < G->numVertexes; j++)
            G->arc[i][j] = INFINITY;  /* 邻接矩阵初始化 */
    for(k = 0; k < G->numEdges; k++)  /* 读入 numEdges 条边，建立邻接矩阵 */
  {
      printf("输入边(vi, vj)上的下标i, 下标j 和权 w:\n");
        scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);  /* 输入变(vi, vj)上的权 w */
        G->arc[i][j] = w;
        G->arc[j][i] = G->arc[i][j];  /* 因为是无向图，矩阵对称 */
  }
}

链接表

邻接表(Adjacencty List)是图的一种链式存储，并且将数组与链表相结合的表示方法。即图中顶点用一维数组存储，每个顶点的所有邻接点用链表存储

无向图的邻接表结构示意图
- 方便查找某个顶点的度，只需要查找顶点的边表中结点的个数
- 判断两定点是否存在边，只需要测试一顶点的边表中是否存在另一节点的下标即可
- 求某顶点的所有邻接点，只需要遍历边表即可
有向图的邻接表结构示意图
- 方便得到每个顶点的出度，若想得到入度，可建立逆邻接表。

图的邻接表存储结构

typedef char VertexType;  /* 顶点类型 */
typedef int EdgeType;  /* 边上的权值类型 */

typedef struct EdgeNode
{
  int adjtex;  /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
    EdgeType weight;  /* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
    struct EdgeNode *next;  /* 链域，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode
{
  VertexType data;
    EdgeNode *firstedge;
}VertexNode, AdjList[MAXTEX];

typedef struct
{
  AdjList adjList;
    int numVertexes, numEdges;
}GraphAdjList;

建立图的邻接表结构

/* 建立图的邻接表结构 */
void CreateALGraph(GraphAdjList *G)
{
  int i, j, k;
    EdgeNode *e;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);  /* 输入顶点数和边数 */
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)  /* 输入顶点信息，建立顶点表 */
  {
      scanf(&G->adjList[i].data);  /* 输入顶点信息 */
        G->adjList[i].firstedge = NULL;  /* 将边表置为空表 */
  }
    for(k = 0; k < G->numEdges; k++)  /* 建立边表 */
  {
        printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
        scanf("%d,%d", &i, &j);  /* 输入边(vi,vj)上的顶点序号 */
      e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));  /* 向内存申请空间,生成边表结点 */
        e->adjtex = j;  /* 邻接序号为 j */
        e.next = G->adjList[i].firstedge;  /* 将 e 指针指向当前顶点指向的结点 */
        G->adjList[i].firstedge = e;  /* 将当前顶点的指针指向 e */

        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));  * 向内存申请空间,生成边表结点 */
        e->adjnext = i;  /* 邻接序号为 i */
        e->next = G->adjList[j].firstedge;  /* 将 e 指针指向当前顶点指向的结点 */
        G->adjList[j].firstedge = e;  /* 将当前顶点的指针指向 e */
  } 
}

结语

后续会继续整理图的相关知识，本文章的代码code

大话数据结构学习笔记 - 图

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图的定义

各种图定义

图的顶点与边间关系

连通图相关术语

图的抽象类型

图的存储结构

邻接矩阵

链接表

结语

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