大话数据结构学习笔记 - 图的最短路径之`Floyd`算法

本文是对网结构最短路径的另一求法，上一节讲的为Dijkstra算法，本节将Floyd算法，有关于最短路径的讲解也在上一节。

`Floyd`算法

算法简介

弗洛伊德Floyd算法也是一种在给定的加权图中求最短路径的算法，求的所有顶点到所有顶点的时间复杂度为 $O(n^3)$ ，是由1978年的图灵获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

基本思想

首先定义两个二维数组D[MAXVEX][MAXVEX]和P[MAXVEX][MAXVEX]，D数组代表顶点到顶点的最短路径权值和矩阵， P代表对应顶点的最小路径前驱矩阵。初始时，将矩阵D中顶点D[v][w]设置为顶点v到顶点w的权值，若两顶点不相连，则D[v][w] = INF。接下来对矩阵D更新，如果D[v][w] > D[v][k] + D[k][w]， k表示v、w两顶点通过中转顶点，该表达式表示通过中转顶点的权值和较小时，更新v、w权值和。下面通过实例进行演示

算法图解

Graph_ShortestPath_Floyd_image_1

初始状态：初始化P和D矩阵， D表示顶点到顶点的权值， P表示顶点v到顶点w的最短路径。若顶点之间直接相连，则D矩阵值为权值，否则为无穷大。

第一步：首先以第一个顶点v0为中转点，即所有的顶点都经过v0中转，计算是否有最短路径的变化，结果没有

第二步：以v1顶点为中转点，即所有顶点都经过v1中转，可以看到，D[0][2] > D[0][1] + D[1][2], 即表示以v1为中转点，顶点v0到v2的权值和变小了，即D[0][2] = 4，同理可得D[0][3] = 8, D[0][4] = 6, 然后更新D矩阵和P矩阵

Graph_ShortestPath_Floyd_image_2

第三步：接下来，依次以每个顶点作为中转点，得到以每个顶点做为中转点后的权值，得到最终的矩阵D和矩阵P

Graph_ShortestPath_Floyd_image_3

代码

无向图结构

#define MAXVEX 9
#define INF 65535
typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];
typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

算法

/* Floyd 算法， 求网图 G 中各顶点 v 到其余顶点 w 的最短路径 P[v][w] 及带权长度 D[v][w] */
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D) {
    /* 初始化 D 与 P */
    for (int v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
        for (int w = 0; w < G.numVertexes; ++w) {
            (*D)[v][w] = G.arc[v][w];  /* D[v][w] 值即为对应顶点间的权值 */
            (*P)[v][w] = w;  /* 初始化 P */
        }
    }
    for (int k = 0; k < G.numVertexes; ++k) {
        for (int v = 0; v < G.numVertexes; ++v) {
            for (int w = 0; w < G.numVertexes; ++w) {
                if ((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]) {
                    /* 如果经过下标为 k 的顶点路径比原两点间路径更短 */
                    (*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];  /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
                    (*P)[v][w] = (*P)[v][k];  /* 路径设置为经过下标为 k 的顶点 */
                }
            }
        }
    }
}

打印各顶点间的最短路径

/* 打印各顶点间的最短路径 */
void ShowShortestPath(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    for(int v = 0; v < G.numVertexes; ++v)
    {
        for(int w = v + 1; w < G.numVertexes; ++w)
        {
            printf("v%d-v%d weight: %d ",v,w,(*D)[v][w]);
            int k = (*P)[v][w];  /* 获得第一个路径顶点下标 */
            printf(" path: %d",v);  /* 打印源点 */
            while (k != w)  /* 如果路径顶点下标不是终点 */
            {
                printf(" -> %d",k); /* 打印路径顶点 */
                k = (*P)[k][w];  /* 获得下一个路径顶点下标 */
            }
            printf(" -> %d\n",w);   /* 打印终点 */
        }
        printf("\n");
    }
}

源码

邻接矩阵最短路径之Floyd算法

结语

关于图的最短路径的两种方法都已整理，继续加油go go go