文章目录

1. 起源
2. 有效性
3. 形式方法（Hamiltonian）
4. 应用
5. Ginzburg criterion
- 5.1 示例：伊辛模型
- 5.2 示例：经典海森堡模型
6. 临界维度（Critical dimension）
7. 平均场博弈论（Mean-field game theory）
- 7.1 线性二次高斯博弈问题
8. 动态平均场理论（Dynamical mean-field theory）
- 8.1 与平均场理论的关系

在物理学和概率论中，平均场理论（Mean-field theory，MFT）或自洽场理论（Self-consistent field theory）通过研究一个更简单的模型来研究高维随机（随机）模型的行为，该模型通过对自由度（统计量的最终计算中的值可以自由变化）的平均来逼近原始模型。此类模型考虑了许多相互作用的单个组件。

平均场理论的主要思想是用平均或有效的相互作用（有时称为分子场（molecular field））代替对任何一个物体的所有相互作用。这将任何多体问题简化为有效的单体问题。解决平均场理论问题的简便性意味着可以以较低的计算成本获得对系统行为的一些了解。

此后，平均场理论已应用于物理学以外的广泛领域，包括统计推断、图形模型、神经科学、人工智能、流行病模型、排队论、计算机网络性能和博弈论，还有量子响应平衡（quantal response equilibrium）。

1. 起源

这个想法首先出现在 Pierre Curie 和 Pierre Weiss 的工作中的物理学（统计力学）中，用于描述相变。 MFT 已用于 Bragg-Williams 近似、Bethe 晶格模型、Landau 理论、Pierre-Weiss 近似、Flory-Huggins 解理论和 Scheutjens-Fleer 理论。

具有许多（有时是无限）自由度的系统通常很难精确求解或以封闭的解析形式计算，除了一些简单的情况（例如某些高斯随机场理论、一维伊辛模型）。经常出现组合问题，使计算系统的配分函数等事情变得困难。 MFT 是一种近似方法，它通常使原始可解和开放计算，并且在某些情况下，MFT 可能会给出非常准确的近似值。

在场论中，哈密顿量可以围绕场平均值的涨落幅度做展开。在这种情况下，MFT 可以看作是涨落中哈密顿量的“零阶”展开。从物理上讲，这意味着 MFT 系统没有涨落，但这与用“平均场”代替所有相互作用的想法相吻合。

很多时候，MFT 为研究高阶涨落提供了一个方便的启动点。例如，在计算配分函数时，研究哈密顿量中相互作用项的组合有时最多只能产生微扰结果或修正平均场近似的费曼图。

2. 有效性

一般来说，维度在确定平均场方法是否适用于任何特定问题方面起着积极的作用。有时存在一个关键维度（critical dimension），高于该维度 MFT 有效，低于该维度则无效。

启发式地，在 MFT 中，许多相互作用被一种有效的相互作用所取代。所以如果场或粒子在原始系统中表现出许多随机相互作用，它们往往会相互抵消，因此平均有效相互作用（mean effective interaction）和 MFT 会更准确。当哈密顿量包括长程力时，或者当粒子增多时（例如聚合物），这在高维情况下是正确的。 Ginzburg 标准（Ginzburg criterion）是涨落如何使 MFT 成为一个效果不好的近似值的形式表达，通常取决于感兴趣系统中的空间维数。

3. 形式方法（Hamiltonian）

平均场理论的形式基础是 Bogoliubov inequality。这个不等式表明具有哈密顿量的系统的自由能

$\mathcal {H}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}$

具有以下上界：

$F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}$

其中 $S_{0}$ 是熵， $F$ 和 $F_{0}$ 是亥姆霍兹自由能。平均值取自具有哈密顿量 $\mathcal {H}_{0}$ 的参考系统（reference system）的平衡系综。在参考哈密顿量（reference Hamiltonian）是非相互作用系统的特殊情况下，因此可以写为

${\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i})$

其中 $\xi _{i}$ 是我们统计系统的各个组成部分（原子、自旋等）的自由度，可以考虑通过最小化不平等式右侧来提高上界。最小化参考系统（the minimising reference system）是使用非相关自由度对真实系统的“最佳”近似，称为平均场近似。

对于目标哈密顿量仅包含成对相互作用的最常见情况，即

${\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j} )$

其中 ${\mathcal {P}}$ 是相互作用对的集合，最小化过程可以形式上实现了。将 $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ 定义为可观察到的 $f$ 在单个分量的自由度上（离散变量的总和，连续变量的积分）。近似自由能由下式给出

${\begin{aligned}F_{0}=&\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{ 2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\ &+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\ xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}$

其中 $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 是找到参考系统的概率，其状态由变量 $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 给定。该概率由归一化的玻尔兹曼因子给出：

${\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac { 1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},\ldots , \xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i }),\end{aligned}}$

其中 $Z_{0}$ 是配分函数。因此

${\begin{aligned}F_{0}=&\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j }(\xi_{i},\xi_{j})P_{0}^{(i)}(\xi_{i})P_{0}^{(j)}(\xi_{j })\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{ 0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}$

为了最小化，我们可以通过使用拉格朗日乘子，求出关于单自由度概率 $P_{0}^{(i)}$ 的导数，以确保适当的归一化。最终结果是一组自洽方程：

$P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,$

其中平均场由下式给出

$h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}} \operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})$

4. 应用

平均场论可以应用于许多物理系统，以研究相变等现象。

4.1 伊辛模型

4.1.1 形式推导

上述所示的 Bogoliubov 不等式可用于计算二维伊辛格的平均场模型的动力学。可以从所得的近似自由能中计算出磁化函数（magnetisation function）。第一步是选择真正哈密顿量的更易于处理的近似值。使用非相互作用或有效场哈密顿量，

$-m\sum _{i}s_{i}$

变分自由能（variational free energy）是

$F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}$

通过 Bogoliubov 不等式，简化这个量并计算最小化变分自由能的磁化函数，会产生与实际磁化强度的最佳近似值。最小化器是

$m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h$

这是自旋的系综平均值。这简化为

$m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h$

将所有自旋感受到的有效场与平均自旋值相等，将变分方法与涨落的抑制联系起来。磁化函数的物理解释是单个自旋的平均值场。

4.1.2 非相互作用自旋近似

考虑 $d$ 维晶格上的 Ising 模型。哈密顿量由下式给出

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i}$

其中 $\sum _{\langle i,j\rangle }$ 表示最近邻对 $\langle i,j \rangle$ ， $s_{i},s_{j}=\pm 1$ 是相邻的伊辛自旋。

让我们通过引入自旋变量的平均值 $m_{i}\equiv \lang s_{i}\rangle$ 的涨落，来变换自旋变量。我们可以把哈密顿量改写为：

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {i}s_{i}$

我们定义 $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ ；这就是自旋的涨落。

如果我们将右侧展开，我们会得到一个完全依赖于自旋平均值且独立于自旋结构（spin configurations）的项。这是一个可以忽略的项，它不会影响系统的统计特性。下一项是涉及自旋平均值和涨落值的乘积。最后，最后一项涉及两个涨落值的乘积。

平均场近似包括忽略这个二阶波动项：

$H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j }+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}$

这些涨落在低维时会增强，使 MFT 成为高维的更好近似。

同样，可以将总和重新展开。此外，我们期望每个自旋的平均值与位点无关，因为伊辛链是平移不变的。这会导致：

$H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}$

相邻自旋的求和可以重写为 $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn( i)}$ ，其中 $nn (i)$ 表示“ $i$ 的最近邻”， $1/2$ 前置因子避免了重复计算，因为每个连接都参与了两次自旋。简化之后可以得到最终表达式：

$H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}} }\sum _{i}s_{i}$

其中 $z$ 是配位数（coordination number，相当于邻居数）。至此，伊辛哈密顿量被解耦为具有有效平均场 $h^{\text{eff.}}=h+mJz$ ，它是外场 $h$ 和相邻自旋引起的平均场之和。值得注意的是，这个平均场直接取决于最近邻的数量，因此也取决于系统的维度（例如，对于维度为 $d$ ， $z = 2 d$ ）。

将这个哈密顿量代入配分函数并求解有效的一维问题，我们得到：

$Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{ B}}T}}\right)\right]^{N}$

其中 $N$ 是格点数。这是系统配分函数的封闭且精确的表达式。我们可以获得系统的自由能并计算临界指数。特别是，我们可以得到磁化强度 $m$ 作为 $h^{\text{eff.}}$ 的函数。

因此，我们在 $m$ 和 $h^{\text{eff.}}$ 之间有两个方程，可以确定 $m$ 作为温度的函数。这导致以下观察：

对于大于某个值 $T_{\text{c}}$ 的温度，唯一解是 $m = 0$ 。该系统是顺磁性的。
对于 $T<T_{\text{c}}$ ，有两个非零解： $m=\pm m_{0}$ 。该系统是铁磁性的。

$T_{\text{c}}$ 由以下关系给出： $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{ k_{B}}}$ 。

这表明 MFT 可以解释铁磁相变。

4.2 应用于其他系统

类似地，MFT 可以应用于其他类型的哈密顿量，如以下情况：

研究金属-超导体的转变。在这种情况下，磁化的类比量是超导间隙 $\Delta$ 。
当指向矢场（director field）的拉普拉斯算子不为零时，出现的液晶分子场。
在蛋白质结构预测中，给定固定蛋白质骨架，确定最佳氨基酸侧链堆积的最佳方式。
确定复合材料的弹性性能。

平均场论中的变分最小化（variationally minimisation）也可以用于统计推断。

4.3 推广到时间相关的平均场

在平均场论中，单点问题中出现的平均场是一个与时间无关的标量或向量。然而，情况并非总是如此：在称为动态平均场理论（dynamical mean field theory，DMFT）的平均场理论的变体中，平均场变成了一个与时间相关的量。例如，DMFT 可以应用于 Hubbard model 来研究 metal–Mott-insulator transition。

5. Ginzburg criterion

只要能够忽略所考虑系统中的涨落，平均场理论就会给出合理的结果。Ginzburg criterion 定量地说明平均场论何时有效。它还给出了上临界维数（upper critical dimension）的概念，即平均场论给出正确结果的系统维数，平均场论预测的临界指数与数值方法得到的临界指数完全匹配。

5.1 示例：伊辛模型

如果 $\phi$ 是系统的序参量，那么平均场论要求序参量的波动要远小于临界点附近序参量的实际值。

从数量上看，这意味着：

$\displaystyle {\mathcal {\langle }}(\delta \phi )^{2}\rangle \quad {\ll }\quad \langle \phi \rangle ^{2}$

在与 Ising 模型的平均场理论相同的 Landau 理论中使用这一点，上临界维数的值为 4。如果空间的维数大于 4，则平均场结果为好的和自洽的。但是对于小于 4 的维度，预测不太准确。例如，在一维中，平均场近似预测 Ising 模型在有限温度下的相变，而一维中的精确解析解没有（除了 $T = 0$ 和 $T\rightarrow \infty$ )。

5.2 示例：经典海森堡模型

在经典的海森堡磁性模型（classical Heisenberg model）中，序参量具有更高的对称性，并且具有比尺寸涨落更重要的剧烈方向涨落。它们超越了 Ginzburg 温度区间（Ginzburg temperature interval），在该区间内涨落修改了平均场描述，从而用另一个更相关的标准代替了此标准。

6. 临界维度（Critical dimension）

在物理学中相变的重整化群分析中，临界维度（Critical dimension）是相变性质发生变化的空间维数。在下临界维度（lower critical dimension）以下没有相变。在上临界维度（upper critical dimension）之上，理论的临界指数变得与平均场论中的相同。平均场论中可以获得临界维度的一个优雅标准，这要归功于 V. Ginzburg。

由于重整化群建立了相变和量子场论之间的关系，这对后者以及我们对重整化的更广泛理解都有影响。在上临界维度之上，属于相变模型的量子场论是自由场论（free field theory）。在下临界维度之下，没有对应于模型的场论。

在弦理论中，含义受到更多限制：临界维度是弦理论在假设恒定的膨胀子背景而没有来自背景辐射效应的额外混杂排列的情况下一致的维度。确切的数字可以通过世界表（worldsheet）上所需的共形异常（conformal anomaly）消除来确定；玻色子弦理论为 26，超弦理论为 10。

7. 平均场博弈论（Mean-field game theory）

平均场博弈论是研究在非常大的人口中，小的相互作用主体（agents）的战略决策。 “平均场”一词的使用受到物理学中平均场理论的启发，该理论考虑了大量粒子系统的行为，其中单个粒子对系统的影响可以忽略不计。

这类问题在 Boyan Jovanovic 和 Robert W. Rosenthal 的经济学文献中，在 Minyi Huang、Roland Malhame 和 Peter E. Caines 的工程文献中被考虑，并且独立地和大约在同一时间由数学家 Jean-Michel Lasry 和 Pierre-Louis Lions。

在连续时间内，平均场博弈通常由描述个体最优控制问题的 Hamilton-Jacobi-Bellman equation 和描述主体总体分布（aggregate distribution）动力学的 Fokker-Planck 方程组成。在相当一般的假设下，可以证明一类平均场博弈是 $N$ 个玩家纳什均衡的极限，如 $N\to \infty$ 。

与平均场博弈相关的概念是“平均场型控制（mean-field-type control）”。在这种情况下，社会计划者控制状态分布并选择控制策略。平均场型控制问题的解决方案通常可以表示为与 Kolmogorov 方程耦合的对偶伴随 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程。平均场型博弈论是单主体平均场型控制的多主体推广。

7.1 线性二次高斯博弈问题

来自 Caines（2009），一个相对简单的大型游戏模型是线性二次高斯模型（linear-quadratic Gaussian）。单个主体的动力学被建模为随机微分方程：

$dX_{i}=(a_{i}X_{i}+b_{i}u_{i})\,dt+\sigma _{i}\,dW_{i},\quad i=1,\dots ,N,$

其中 $X_{i}$ 是 $i\text{-th}$ 主体的状态， $u_{i}$ 是第 $i$ 个主体， $W_{i}$ 是所有 $i=1,\dots ,N$ 的独立维纳过程。个人主体的损失是：

$J_{i}(u_{i},\nu )=\mathbb {E} \left\{\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}\left[(X_ {i}-\nu )^{2}+ru_{i}^{2}\right]\,dt\right\},\quad \nu =\Phi \left({\frac {1}{N} }\sum _{k\neq i}^{N}X_{k}+\eta \right)$

主体之间的耦合发生在损失函数中。

8. 动态平均场理论（Dynamical mean-field theory）

动态平均场理论（Dynamical mean-field theory，DMFT）是一种确定强相关材料的电子结构的方法。在这样的材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子的近似被破坏了。动态平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，弥合了近乎自由的电子气体极限和凝聚态物理的原子极限之间的差距。

DMFT 包括将多体晶格问题映射到多体局部问题，称为杂质模型（impurity model）。虽然晶格问题通常是棘手的，但杂质模型通常可以通过各种方案来解决。映射本身并不构成近似值。在普通 DMFT 方案中所做的唯一近似是假设晶格自能（self-energy）是与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限坐标的晶格极限中变得精确。

DMFT 的主要成功之一是描述了当电子相关强度增加时金属和莫特绝缘体（Mott insulator）之间的相变。结合密度泛函理论的局部密度近似，它已成功应用于实际材料。

8.1 与平均场理论的关系

格点量子模型（lattice quantum models）的 DMFT 处理类似于 Ising 模型等经典模型的平均场理论（MFT）处理。在伊辛模型中，晶格问题被映射到一个有效的单位点（single-site）问题上，其磁化是通过一个有效的“平均场”来重现晶格磁化。这种条件称为自洽条件（self-consistency condition）。它约定单位点可观测物应通过有效场再现格点“局部”可观测量。虽然 $N$ 点伊辛哈密顿量难以解析求解（迄今为止，解析解仅适用于 1D 和 2D 情况），但单位点问题很容易解决。

同样，DMFT 将晶格问题（例如 Hubbard 模型）映射到单位点问题。在 DMFT 中，局部可观测量是局部格林函数。因此，DMFT 的自洽条件是杂质格林函数通过有效平均场再现晶格局部格林函数，在 DMFT 中，该平均场是杂化函数 $\Delta (\tau )$ 的杂质模型。DMFT 得名于平均场 $\Delta (\tau )$ 是时间相关的或动态的。这也指出了 Ising MFT 和 DMFT 之间的主要区别：Ising MFT 将 N-spin 问题映射为单位点、单自旋问题。DMFT 将晶格问题映射到单位点问题，但后者基本上仍然是一个 N 体问题，它捕获由于电子-电子相关性引起的时间波动。