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一个学期的计算理论课程已经结束，给我的感觉吧，计算理论是一门计算机不得不学，学了短期又没用，但是可以培养一些逻辑思维的课程。其最关注的问题是什么是可计算性，什么问题可计算，问题之间的映射/归约，计算代价及难易。在分析问题和检验模型计算能力之前需要掌握的工具是形式语言、图灵机等。本文主要对计算理论中的重点进行了总结，总结了一些定理和理解上容易有障碍的知识点，但是里面还有一些点没有提到，比如NFA、DFA的相互转化，CFL和PDA的相互转化，需要书中的题目和证明辅助。
Textbook Summary
1. 与自然数集合N等势的集合是可数无穷的，称有穷的or可数无穷的集合是可数的。非可数的集合称作不可数的。
2. DFA( K, Σ, s, F, δ )；NFA（K,Σ，s，F，Δ）
3. 每台NFA都有一台等价的DFA（method:find closure）
4. 有穷自动机接受的语言类= 正则语言类（正则表达式描述的语言类）
5. 正则语言在各种运算下封闭
6. 语言是正则的，iff其等价语言中有有穷个等价类。
7. DFA状态最小化->寻找等价类（初始等价类F& K-F）
8. CFL（V，Σ，R，S）
9. 存在非正则的CFL
10. 能够生成>=两棵语法分析树的字符串的文法叫做歧义的。
11. PDAM=（K，Σ，Γ，Δ，s，F），Γ为栈符号
12. PDA接受的语言正好是CFL
13. 正则语言（xynz）和CFL（uvnxynz）的泵定理
14. L={anbn}∈CFL，L={anbncn}∉CFL但是是递归的，L={an,n为素数}不是CFL
15. Chomsky范式（CNF）：若RÍ(V-Σ)×V2，则称G=（V，Σ，R，S）为Chomsky范式
16. 有穷自动机总是停机。
17. CFG到CNF的转化：
1) 消除长rules
2) 消除空rules（A->e）
3) 消除短rules（A->aor A->B）
18. 对任意CFLG，都可以在多项式时间构造Chomsky范式G’,使得L(G’)=L(G)-(Σ∪{e})
19. 没有chomsky范式能够表示length<2的字符串，所以包含<2的字符串的语言不能转化到chomsky范式。
20. 确定型CFL（确定型PDA接受的语言类）在补下封闭。
21. TM(K，Σ，δ，s，H)，注意字母表Σ不包含←和→
22. 若存在TM判定L，则称L是递归的。
23. 如果对于所有w属于Σ*，M(w) = f(w)，我们说M计算函数f，若存在TM计算f，则f称为递归的。
24. 半判定语言的TM都不是算法
25. 多带、多带头、双向无穷带or多维带的TM，其判定or半判定的任何语言及任何函数，都分别可用标准TM判定、半判定or计算。
26. 非确定型TM：一个格局可在一步里产生多个其他格局，NDTM is no more powerful than original TM
27. 若非确定型TMM半判定或者判定语言L，或者计算函数f，则存在标准型TMM’半判定or判定L，or计算函数f。
28. 文法是CFG的推广，任何CFG都是文法。G=（V，Σ，R，S）
29. 语言被文法生成iff它是r.e.的。
30. 所有数值函数都是原始递归的
31. 原始递归函数集是递归可枚举的。
32. 特殊语言/问题：
H = {“M””w”: M在w上停机 }
﹁H = { “M””w”：M是一台在”w”上不停机的TM}
H1 = {“M”：M在“M”上停机 }
﹁H1 = { w：要么w不是一台TM的编码，
要么w是M的编码，M是一台在”M”上不停机的TM}
H：r.e. ; H1：r.e.； ﹁H, ﹁H1：非r.e.；2-SAT∈P； SAT∈NP
33. 没有算法的问题称作不可判定的or不可解的，如TM的停机问题
34. 证明不可判定：从通用图灵机U通过递归函数归约到L，如果L是递归的则U是递归的。
i.e.若L1非递归，并存在L1到L2的归约，则L2也非递归。
递归函数是TuringComputable的。
35. 语言是图灵可枚举的，iff存在枚举它的图灵机。（M通过空格代开始，周期性的经过特殊状态q来枚举L，任意顺序且可重复）
36. 不可判定语言与递归语言互为补集，与r.e.语言有交集。
37. 语言是r.e.，iff它是图灵可枚举的；语言是递归的，iff它是以字典序Turing可枚举的。
38. P在并交连接和补运算下封闭，NP在并、连接运算下封闭。若NP在补下封闭，则NP=P。
39. H= {“M””w”: M在最多2|w|步后停机 } ∉P
40. 所有正则语言和所有CFL都属于P
41. NP：
A. 机器角度去定义：被多项式界限非确定型图灵机判定的所有语言的类。
B. 基于verifier的定义：NP问题上建立的非确定机包含两步：
1) 非确定地猜一个解
2) 用一个确定的算法判定该解是否为可行解
判定一个给定猜测值是否满足该问题（可满足性）的算法称作verifier，一个问题称作NP问题当且仅当存在一个多项式时间的verifier。
这两个定义是不矛盾的，因为如果一台非确定TM在多项式时间内可以判定一个非确定选择的输入是否满足，就是基于verifier的定义。
P和NP的区别：
A problem isin P if we can decide them in polynomial time. It is in NP if we can decidethem in polynomial time, if we are given the rightcertificate.
42. 若存在计算函数f的多项式界限的图灵机M，则f称为多项式时间可计算的。
43. 若τ1是L1->L2的多项式归约，τ2是L2->L3的多项式归约，则τ1·τ2是L1->L3的多项式归约。
44. 证明NP完全：
法一、按定义：LÍΣ*，若
（a） L∈NP，且
（b） 对每个语言L’∈NP，存在从L’到L的多项式归约
则L称为NP完全的。
法二、归约，对于语言L，
（a） 若L∈NP
（b） 一个NP完全问题可以在多项式时间规约到L，i.e.SAT ≤pL
则L称为NP完全的。
45. L是NP完全语言，则P=NP，iffL∈P
46. SAT是NP-complete，3-SAT，最大可满足性也是NP完全的
47. 覆盖问题，Hamilton圈（有向无向），旅行商问题，背包问题都是NP-complete。
48. a*b*c*- {anbncn, n ≥0} is context-free but not regular
49. L=L1L2，L是CFL，则L1一定是CFL（×）
50. Regular-CFL不一定是CFL，如a*b*c*-anbn包含anbncn
51. 2-wayPDA(i.e. PDA whose input heads can move both left and right) are more powerfulthan 1-way PDA
52. Givena PDA M1 and an FA M2, the problem L(M1) ÍL(M2)is decidable
53. DFA/NFA识别的是exactly正则语言。
54. R.e.只在补和差下不封闭，CFL在交下也不封闭。
55. 非正则语言的*可能是正则语言。比如A:{w=wR },及所有回文，A*=Σ*，为正则语言
56. 典型非正则：w=wR
57. 正则语言的子集可能非正则，如anbncn,是a*b*c*的子集；又如Σ*是正则语言，H⊆Σ*。
58. 归约：X到Y的归约可以理解为X到Y问题的映射,reduction可以解释为at least as difficult as… 比如X可以被Y的算法解决，则Xis no more difficult than Y, X可以归约到Y，记X≤Y。e.g. x2可以归约到任意两数的乘积。
∴ 若有A≤rB，
A是不可判定问题->B不可判定 A不递归->B不递归
B可判定->A可判定 B是递归的->A是递归的
59. 若X多项式时间归约到Y，Y多项式时间可解，则X多项式时间可解；
若X多项式时间归约到Y，X多项式时间不可解，则Y多项式时间不可解
60. X多项式时间归约到Y，Y多项式时间归约到Z，则X多项式时间归约到Z
61. PRIME（COMPOSITE）多项式时间归约到Factor，但是Factor多项式时间不能归约到PRIME（COMPOSITE）。
62. 若A≤PB，B∈NP，则A∈NP。
证明：
A≤PBÞ存在确定图灵机X，可将A归约到B。
B∈NPÞ 存在一个非确定图灵机N可判定B。
我们希望构造一个新的TM（X*N），是的X*N非确定多项式时间求解A，则A∈NP。
Running time of X*N≤1+p(n)<A->B>+q(p(n))(B多项式时间非确定判定)是多项式时间
所以A∈NP
63. 若A≤PB，B∈P，则A∈P。
64. 若X是NPC的，则X在多项式时间内可解iffP=NP.
65. SAT多项式时间归约到3-SAT(3-SAT是NPC的)
66. 证明语言L是R./R.e./NonR.e.
a) Intuitively想想有没有半判定（判定）的TM，有则R.e.(R)。若非R,执行下一步。
b) 用能否由R.e.（Non R.e.）语言归约到该语言，能则R.e.而非R（NonR.e）.
严格用归约函数定义f：A≤pB，r1∈A当且仅当f(r1)∈B
e.g.1 <M,w>∈H, iff M∈L 证明R.e.
e.g.2 <M,w>∈非H，iffM∈L 证明Non R.e.
注意方向：是从A的实例经过递归函数推向B的实例。
详细介绍：http://www.cs.rice.edu/~nakhleh/COMP481/final_review_sp06_sol.pdf
67. 递归与μ递归等价
68. PDA中，若每一个格局至多有一个格局接在它后面，则为确定型的。确定型CFL在补下封闭。
69. M半判定L：w∈L，iff M在w上停机，注意半判定图灵机中不存在“拒绝”状态。只要不接受w，就不停机。
70. Chomsky hierarchy
71. 俩证明：
7.6 证明P在并、交、Kleene*连接和补运算下封闭。
(1) 并：
对任意 L1, L2ÎP，设有na时间图灵机M1和nb时间图灵机M2 判定它们，且c=max{a,b}。
对L1ÈL2构造判定器M:
M=“对于输入字符串w :
1) 在w上运行M1，在w上运行M2。
2) 若有一个接受则接受，否则拒绝。”
时间复杂度：设M1为O(na),M2为O(nb)。令c=max{a,b}。
第一步用时O(na+nb) ，因此总时间为O(na+ nb)=O(nc),
所以L1ÈL2属于P类，即 P在并的运算下封闭。
(2) 连接：
对任意 L1, L2属于P 类，设有na时间图灵机M1和nb时间图灵机M2 判定它们，且c=max{a,b}。对L1L2 构造判定器M:
M=“对于输入字符串w=w1,w2,…,wn，
1) 对k=0,1,2,…,n重复下列步骤。
2) 在w1w2…wk上运行M1，在wk+1wk+2…wn上运行M2。
3) 若都接受，则接受。否则继续。
4) 若对所有分法都不接受则拒绝。“
时间复杂度：(n+1)×(O(na)+O(nb))=O(na+1)+O(nb+1)=O(nc+1)，所以L1L2属于P类，即 P在连接的运算下封闭。
(3)补：
对任意 L1属于P 类，设有时间O(na)判定器M1判定它，对构造判定器M:
M=“对于输入字符串w :
(1) 在w上运行M1。
(2) 若M1接受则拒绝，若M1拒绝则接受。”
时间复杂度为：O(na)。所以属于P类，即 P在补的运算下封闭 。
7.7 证明NP在并和连接运算下封闭。
(1) 并：
对任意 L1, L2ÎNP，设分别有na时间非确定图灵机M1和nb时间非确定图灵机M2 判定它们，且c=max{a,b}。
构造判定L1ÈL2的非确定图灵机M:
M=“对于输入字符串w :
1) 在w上运行M1，在w上运行M2。
2) 若有一个接受则接受，否则拒绝。”
对于每一个非确定计算分支，第一步用时为O(na)+O(nb)，因此总时间为O(na+nb)=O(nc)。 所以L1ÈL2ÎNP，即 NP在并的运算下封闭。
(2) 连接：
对任意 L1, L2ÎNP，设分别有na时间非确定图灵机M1和nb时间非确定图灵机M2 判定它们，且c=max{a,b}。
构造判定L1L2的非确定图灵机M:
M=“对于输入字符串w :
1) 非确定地将分成两段x,y，使得w=xy。
2) 在x上运行M1，在y上运行M2。
3) 若都接受则接受，否则拒绝。”
对于每一个非确定计算分支，第一步用时O(n),第二步用时为O(na)+O(nb)，因此总时间为O(na+ nb)=O(nc)。 所以L1L2ÎNP，即NP在连接运算下封闭。
专题——图灵机可判定性问题
判定以下问题是否可判定：声明：思路——想证明B问题不可解，
1. 从一个不可解问题A入手（如停机问题）
2. 创建B的一个实例，从中推出如果能解决B，A也就可以解决了
3. 所以B是不可解的
我们可以给出这样一个TMN进行enc（M），
a) 数M中状态数，直到481.
b) 如果达到了481，N就接受，否则拒绝。
构造2带图灵机N，
a) 2nd 带: 写481个0
b) 1st 带在空串上模拟M，每走一步，第2带就删掉一个0
c) 如果M在所有0都删掉之后停机，则N接受，否则不接受
a) 按字典序找出所有length<=481的串x
b) 在每个x上面run M，看是否在481步以内停机
c) 是则接受，否则reject
a) 原因同(3)类似
设两个语言：L1= {M|M(e)停机}；H = {<M,w>|M(w)停机}
已知H不可判定，只需要找到H->L1的归约即可。令f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, M’ 输入任何y的输出都是M在w上的模拟结果（获得的具体做法是删除任何输入，写入w，再在w上模拟M）。则{“M”,”w“}∈H，iffM’ 在任何串上停机，iff M’在空串停机 M‘∈L1。
②给定TM M， M是否在所有上停机的串？<NO>
设L = {M|M(a) where a∈Σ*} ，H = {<M,w>|M(w)停机}。寻找H到L的归约。
令f(“M”,“w”) =M’(y) = “M(w)”, M’ 输入任何y输出都是M在w上的模拟结果（获得的具体做法是删除任何输入，写入w，再在w上模拟M）。{“M”,”w“}∈H，iffM’ 在任何串上停机，iff M’在任何串上停机，iff M’在所有a上停机(a∈Σ*), i.e. M’∈L。
设Finite = {L(M) where L(M) isfinite}; AH = {<M,w>|M accept w}
存在从AH（非递归）到﹁Finite的递归函数f，f(“M”,“w”)=M’(y) = “M(w)”, 显然f可计算。则{M,w}∈AH iff M halts on w iff M’ accept any y∈Σ*ifff(M,w) is infinite, i.e. M’∈ ﹁Finite。由于AH归约到﹁Finite，所以﹁Finite非确定，又∵确定性在补下封闭，所以Finite也是非确定的。
设Write_a = {<M,w>|M有一条在带上写a的规则}；AH = {<M,w>|M accept w}
存在从AH（非递归）到﹁Finite的递归函数f，f(“M”,“w”)=M’(“T”,”a”) = Simulate M(w).
若M接受w，在带上写a；否则什么也不写。
则{M,w}∈AH iffM halts on w iffM’在带上写了一个aiff f(“M”,“w”)∈Write_a. 所以Write_a非确定。
设2Halts = {<M1,M2>|存在令他们都停机的串w}；H = {<M,w>|M(w)停机}
构造新机器M’，在M’带上写w，模拟M1若停机则清空带，写w，再模拟M2，若M2在w上也停机，则M’停机。则有M’停机iff<M1,M2>∈2Halt iff<M1,w>∈H且<M2,w>∈H。
设S = {M| M accepts wRwhenever it accept w}; AH = {<M,w>|M acceptw}
递归函数f定义如下，f(M,w)= M’(y), 在M’上模拟M(w).
当M接受w时，create M’ 只接受串1111；当M拒绝w时，create M’只接受串01。
则<M,w>∈AH iff M接受w iff M’只接受1111 iffM’∈S，类似的<M,w>∉AHiffM’接受01不接受10iffM’∉S
判定语言Recursive/Recursive Enumerable / Not R.e.
1. L1 = {M| there exists an input on which M haltsin less than |<M>| steps} R.
Test on all w less than |M|
2. L2 = {M| |L(M)|<4} Not R.e.
a) Reductionfrom H , 说明是R.e.或非R.e.
b) <M,x>∈非H，当且仅当M’属于L2
3. L3 = {M| |L(M)|>2} R.e. not R
由于本文有一些符号blog上无法显示，整理成PDF放在这里了，免费，欢迎下载。
本文整理于2013.01.10，最后更新2013.01.17，整理人Rachel_Zhang,感谢金小刚老师授课。
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