Random Walk 随机漫步理论 Random Walk Theory 随即漫步应用

目录

Random walk

点阵随机游走

一维随机游走

马尔可夫链

更高的纬度

与维纳过程的关系

高斯随机游走

异常扩散

不同站点的数量

应用

变种

在图表上

自我互动随机游走

远程相关步行

偏向随意走在图上

最大熵随机游走

相关的随机游走

也可以看看

参考

参考书目

外部链接

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Random walk

文章来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
来自劳伦斯·布洛克小说，请参阅随机漫步。
随机游走是一种数学现象，称为随机或随机过程，它描述了由一些数学空间（如整数）上的一系列随机步骤组成的路径。随机游走的一个基本示例是整数线上的随机游走Z，从0开始，每一步以相同的概率移动+1或-1 。其他例子包括分子在液体或气体中行进时追踪的路径，觅食动物的搜索路径，波动的股票价格和赌徒的财务状况都可以通过随机游走模型近似，甚至虽然它们在现实中可能不是真正的随机。如这些例子所示，随机游走可应用于许多科学领域，包括生态学，心理学，计算机科学，物理学，化学，生物学以及经济学。随机游走解释了这些领域中许多过程的观察行为，因此可作为记录随机活动的基本模型。作为一个更加数学化的应用，pi的值可以通过在基于代理的建模环境中使用随机游走来近似。[1] [2] “随机游走”一词最早由卡尔·皮尔森于1905年提出。[3]

各种类型的随机游走是有趣的，其可以以多种方式不同。该术语本身通常指的是马尔可夫链或马尔可夫过程的特殊类别，但许多与时间相关的过程被称为随机游走，其中修饰符指示其特定属性。随机行走（Markov与否）也可以在各种空间上进行：通常研究的包括图形，其他包括整数或实线，平面或高维向量空间，曲面或更高维度黎曼流形，也是有限群，有限生成群或李群。时间参数也可以被操纵。在最简单的上下文中，walk是离散时间，即一系列随机变量（X.
t）=（X1，X2，...）由自然数索引。但是，也可以定义随机游走，其随机时间采取步骤，在这种情况下是位置X.t必须定义t∈[0，+∞）。随机行走的具体情况或限制包括Lévy飞行和布朗运动等扩散模型。

随机游走是讨论马尔可夫过程的一个基本主题。 他们的数学研究非常广泛。 已经引入了一些属性，包括扩散分布，首次通过或击中时间，遇到率，复发或短暂性，以量化它们的行为。

点阵随机游走

流行的随机游走模型是在规则网格上随机游走的模型，其中在每个步骤中，位置根据一些概率分布跳转到另一个站点。 在简单的随机游走中，该位置只能跳到格子的相邻位置，形成格子路径。 在局部有限格上的简单对称随机游走中，跳到其每个直接邻居的位置的概率是相同的。 研究得最好的例子是在d维整数格上随机游走（有时称为超立方格子）。[4]

如果状态空间限于有限维，则随机游走模型称为简单边界对称随机游走，转移概率取决于状态的位置，因为在边缘和角落状态下，运动是有限的。[5]

一维随机游走

随机游走的基本示例是整数线上的随机游走，其从0开始并且在每一步以相等的概率移动+1或-1。

这个步骤可以说明如下。标记在数字线上放置零，并翻转一个公平的硬币。如果正面朝上，则标记向右移动一个单位。如果它反面朝上，则标记向左移动一个单位。五次翻转后，标记现在可以是1，-1,3,3,5或-5。有五个翻转，3H2T，按任意顺序，它将落在1.有10种最终方式（通过翻转3H2T），10种最终方式-1（通过翻转3H2T），5种最终方式（通过翻转4H1T），5种最终方式-3（通过翻转4T1个H），1种最终方式5（通过翻转5H）和1种最终方式-5（通过翻转5T）。请参见下图，了解5次翻转的可能结果。

要正式定义此步，请采用独立的随机变量，其中每个变量为1或-1，任一值和设置的概率为50％和，该集合被称为简单的随机漫步. 如果步行的每个部分长度为1，则该系列（-1和1的序列的总和）给出行走的距离。 的期望值为零。也就是说，随着翻转次数的增加，所有硬币翻转的平均值接近于零。 接下来是期望的有限加性属性：

     ，

 

类似的计算，使用随机变量的独立性和的实例如下：

这暗示，n步后的预期平移距离应该是的量级。 事实上[6]

，

这个结果表明扩散对于混合是无效的，因为平方根对巨大的行为显示。[引证需要]如果允许继续行走，随机行走多少次越过边界线？ 在上进行简单的随机游走将无限次地遍历每个点。 这个结果有很多名字：平交现象，复发或赌徒的毁灭。 姓氏的原因如下：一个拥有有限金额的赌徒最终会在与无限金钱的银行玩公平游戏时失败。 赌徒的钱将随机行走，并且在某个时刻它将达到零，游戏将结束。

如果a和b是正整数，则直到从0开始的一维简单随机游动到达b或-a的预期步数是ab。 在-a之前这个步行将达到b的概率是，这可以从简单随机游走是鞅的事实得出。

上面提到的一些结果可以从Pascal三角形的属性中导出。每个步长为+1或-1的n步的不同步数是 2^n。对于简单的随机游走，这些步行中的每一个都是同样可能的。为了使Sn等于数k，步行中+1的数量超过-1乘以k是必要和充分的。它遵循+1必须在步行的n个步骤中出现（n + k）/ 2次，因此满足的步行数等于方式的数量从n个元素集中选择（n + k）/ 2个元素，[7]表示。为了使其具有意义，n + k必须是偶数，这意味着n和k都是偶数或两者都是奇数。因此，的概率等于。通过用阶乘法表示Pascal三角形的条目并使用斯特林公式，可以获得的大值的这些概率的良好估计。

如果为了简洁，空间仅限于+，随机游走将落在具有五次翻转的任何给定数字上的方式可以显示为{0,5，0,4,0,1}。

对于小的n值，证明了与Pascal三角形的这种关系。 在零转弯时，唯一的可能性是保持零。 然而，在一个转弯处，有一次降落-1或一次降落的可能性为1.在两转时，1处的标记可以移动到2或回到零。 -1处的标记可以移动到-2或返回零。 因此，有一次降落-2的机会，两次登陆的机会为零，一次登陆的可能性为2。

k	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
{\displaystyle P[S_{0}=k]}						1
{\displaystyle 2P[S_{1}=k]}					1		1
{\displaystyle 2^{2}P[S_{2}=k]}				1		2		1
{\displaystyle 2^{3}P[S_{3}=k]}			1		3		3		1
{\displaystyle 2^{4}P[S_{4}=k]}		1		4		6		4		1
{\displaystyle 2^{5}P[S_{5}=k]}	1		5		10		10		5		1

中心极限定理和迭代对数定律描述了上简单随机游走行为的重要方面。 特别地，前者需要随着n的增加，概率（与每行中的数字成比例）接近正态分布。

作为直接推广，可以考虑在晶格上随机行走（有限图上的无限折叠阿贝尔覆盖图）。 实际上可以在这个设置中建立中心极限定理和大偏差定理。[8] [9]

马尔可夫链

一维随机游走也可以看作马尔可夫链，其状态空间由整数给出。 对于满足的某个数p，转移概率（从状态i移动到状态j的概率Pi，j）由下式给出：

更高的纬度

在更高的维度中，随机行走点集具有有趣的几何属性。事实上，人们得到一个离散的分形，即一个在大尺度上表现出随机自相似性的集合。在小尺度上，人们可以观察到由执行步行的网格产生的“锯齿状”。下面引用的两本劳勒书是这个主题的一个很好的资料来源。随机游走的轨迹是所访问的点的集合，被视为一组而忽略了步行到达该点的时间。在一个维度中，轨迹仅是步行所达到的最小高度和最大高度之间的所有点（平均而言，均为√n的量级）。

为了可视化二维情况，可以想象一个人在城市中随机行走。这个城市实际上是无限的，并安排在一个方形的人行道网格中。在每个十字路口，该人随机选择四条可能路线中的一条（包括最初从该路线行驶的路线）。形式上，这是在具有整数坐标的平面中的所有点的集合上的随机游走。

这个人会不会回到原来的步行起点？这是上面讨论的平交问题的二维等价物。 1921年，乔治·波利亚证明了这​​个人几乎肯定会进行二维随机游走，但对于3维或更高维度，返回原点的概率会随着维数的增加而减少。在3个维度中，概率降低至大约34％。[10]

随着步数增加，二维随机游走的渐近函数由瑞利分布给出。概率分布是距离原点的半径的函数，并且步长对于每个步骤是恒定的。

与维纳过程的关系

维纳过程是一种随机过程，具有与布朗运动相似的行为，即微小粒子在流体中扩散的物理现象。 （有时Wiener过程被称为“布朗运动”，尽管严格来说这是模型与模型现象的混淆。）

Wiener过程是尺寸1中随机游走的缩放限制。这意味着如果你以非常小的步长进行随机游走，你会得到一个Wiener过程的近似值（并且不太准确地说，是布朗运动）。更确切地说，如果步长为ε，则需要走长度L /ε2以接近L的维纳长度。当步长趋于0（并且步数成比例地增加）时，随机游走收敛适当意义上的维纳过程。形式上，如果B是具有最大拓扑的长度为L的所有路径的空间，并且如果M是具有范数拓扑的B上的度量空间，则收敛在空间M中。类似地，在多个维度中的维纳过程是相同维数的随机游走的缩放限制。

随机游走是离散分形（具有整数尺寸的函数; 1,2，......），但维纳过程轨迹是真正的分形，并且两者之间存在联系。例如，随机行走直到它达到半径为步长的r倍。它执行的平均步数是r2。[引证需要]这个事实是Wiener过程步行是Hausdorff维数2的分形这一事实的离散形式。[引证需要]

在二维中，相同随机游走在其轨迹边界上的平均点数是r4 / 3。这相当于维纳过程轨迹的边界是维数为4/3的分形，这是Mandelbrot使用模拟预测的事实，但仅在2000年由Lawler，Schramm和Werner证实。[11]

维纳过程享有许多对称性随机游走没有。例如，Wiener过程步行对于旋转是不变的，但随机游走不是，因为底层网格不是（随机游走对旋转不变90度，但Wiener过程对旋转不变，例如，17度也是如此） ）。这意味着在许多情况下，随机游走的问题通过将它们转换为维纳过程，解决那里的问题，然后进行平移来更容易解决。另一方面，由于其离散性质，随机游走更容易解决一些问题。

随机游走和维纳过程可以耦合，即以相依的方式表现在相同的概率空间上，迫使它们非常接近。最简单的耦合是Skorokhod嵌入，但存在更精确的耦合，例如Komlós-Major-Tusnády近似定理。

随机走向Wiener过程的收敛由中心极限定理和Donsker定理控制。 对于t = 0处已知固定位置的粒子，中心极限定理告诉我们，在随机游走中的大量独立步骤之后，根据总方差的正态分布来分配步行者的位置：

其中t是从随机游走开始经过的时间，是随机游走步长的大小，是两次之间经过的时间 连续的步骤。这对应于控制维纳过程的扩散方程的格林函数，这表明在大量步骤之后，随机游走向维纳过程收敛。

在3D中，对应于扩散方程的格林函数的方差是：

通过将该数量与随机游走者的位置相关联的方差相等，可以获得等效扩散系数，该渐近系数将被考虑用于渐近维纳过程，随机游走在大量步骤之后收敛：

（仅在3D中有效）

备注：上面方差的两个表达式对应于与向量关联的分布，该向量以3D形式链接随机游走的两端。 与每个组件关联的差异，或仅为此的三分之一 价值（仍为3D）。

对于2D：[12]

对于1D:[13]

高斯随机游走

具有根据正态分布变化的步长的随机游走被用作诸如金融市场的现实世界时间序列数据的模型。 例如，用于建模期权价格的Black-Scholes公式使用高斯随机游走作为基本假设。

这里，步长是逆累积正态分布其中0≤ z≤1是均匀分布的随机数，μ和σ分别是正态分布的均值和标准差。

如果μ非零，则随机游走将随线性趋势变化。如果vs是随机游走的起始值，则n步之后的期望值将是vs +nμ。

对于μ等于零的特殊情况，在n步之后，平移距离的概率分布由N（0，nσ2）给出，其中N（）是正态分布的符号，n是步数，并且σ来自如上给出的反向累积正态分布。

证明：高斯随机游走可以被认为是一系列独立和相同分布的随机变量之和，Xi来自反向累积正态分布，均值等于零且原始反向累积正态分布的σ：

但我们得到两个独立的正态分布随机变量之和的分布，Z = X + Y，由下式给出

(μX + μY, σ2X + σ2Y) (see here).

在我们的例子中，μX=μY= 0和σ2X=σ2Y=σ2产出

(0, 2σ2)

通过归纳，我们有n个步骤

Z ~(0, nσ2).

对于按照零均值和有限方差（不一定只是正态分布）的任何分布分布的步骤，n步后的均方根平移距离为

但对于高斯随机游走，这只是在n步之后平移距离分布的标准偏差。 因此，如果μ等于零，并且由于均方根（rms）平移距离是一个标准偏差，则n步之后的均方根平移距离将落在±σ。 同样，n步之后的平移距离有50％的可能性落在±0.6745σ之间。

异常扩散

在诸如多孔介质和分形等无序系统中，可能与不成比例，而是。 指数称为异常扩散指数，可以大于或小于2. [14] 异常扩散也可以表示为σr2~Dtα，其中α是异常参数。 随机环境中的一些扩散甚至与时间对数的幂成比例，例如参见西奈的步行或Brox扩散。

不同站点的数量

单个随机游走者访问的不同站点的数量已被广泛研究用于方形和立方格子以及分形。[15] [16] 该量可用于分析捕集和动力学反应的问题。 它还与状态的振动密度，[17] [18]扩散反应过程[19]和人口在生态学中的传播有关[20] [21]。 最近对d维欧几里德研究了这个问题对个随机漫步者所访问的不同站点数量的推广晶格。[22] N步行者访问的不同站点的数量不仅与每个步行者访问的不同站点的数量有关。

应用

如上所述，一些自然现象的范围很大，特别是在物理学[23] [24]和化学，[25]材料科学，[26] [27]生物学中。 [28]和其他各个领域。[29] [30]以下是随机游走的一些具体应用：

在金融经济学中，“随机游走假设”用于模拟股票价格和其他因素。实证研究发现与该理论模型有一些偏差，特别是在短期和长期相关性方面。查看股价。
在群体遗传学中，随机游走描述了遗传漂变的统计特性
在物理学中，随机游走被用作物理布朗运动和扩散的简化模型，例如分子在液体和气体中的随机运动。参见例如扩散限制聚集。同样在物理学中，随机游走和一些自相互作用的行走在量子场理论中发挥作用。
在数学生态学中，随机游走用于描述个体动物运动，经验性地支持生物扩散过程，偶尔用于模拟种群动态。
在高分子物理学中，随机游走描述了理想的链条。这是研究聚合物最简单的模型。[31]
在其他数学领域，随机游走用于计算拉普拉斯方程的解，估计谐波测量，以及分析和组合学中的各种构造。
在计算机科学中，随机游走用于估计Web的大小。在2006年的万维网会议上，Bar-Yossef等人。发表了他们的研究结果和算法。
在图像分割中，随机游走用于确定与每个像素相关联的标签（即“对象”或“背景”）。[32]该算法通常被称为随机游走分段算法。
在所有这些情况下，随机游走通常取代布朗运动。

在大脑研究中，随机游走和强化随机游走用于模拟大脑中神经元射击的级联。
在视觉科学中，眼睛漂移往往表现得像随机游走。[33]据一些作者说，一般情况下固定眼动也可以通过随机游走来描述。[34]
在心理学中，随机游走准确地解释了做出决定所需时间与作出某项决定的可能性之间的关系。[35]
随机游走可用于从未知或非常大的状态空间进行采样，例如从互联网上挑选随机页面，或者用于研究工作条件，在给定国家中随机工作。[需要引证]
当最后一种方法用于计算机科学时，它被称为Markov Chain Monte Carlo或简称MCMC。通常，从一些复杂的状态空间采样也允许人们获得空间大小的概率估计。使用这种方法解决的第一个主要问题是对零和一个大矩阵的永久性的估计。[引证需要]
随机游走也被用于抽取大量在线图形，如在线社交网络。
在无线网络中，随机游走用于模拟节点移动。[引证需要]
运动细菌参与有偏见的随机游走。[36]
随机游走用于模拟赌博。[引证需要]
在物理学中，随机游走是费米估计方法的基础。[引证需要]
在网络上，Twitter网站使用随机漫步来建议谁应该关注[37]
Dave Bayer和Persi Diaconis已经证明，7次轻微洗牌足以混合一副牌（参见洗牌下的更多细节）。这个结果转化为关于对称群上的随机游走的陈述，这是他们证明的，通过傅立叶分析对群体结构的关键使用。

变种

已经考虑了许多类型的随机过程，其类似于纯随机游走，但是允许简单结构更加概括。 纯结构的特征在于步骤由独立且相同分布的随机变量定义。

在图表上

在具有根0的可能无限图G上的长度k的随机游走是具有随机变量的随机过程使且是从的邻居随机均匀选择的顶点。 然后，数字是从v开始的长度为k的随机游走在w处结束的概率。 特别是，如果G是根0的图形，步随机游走返回0的概率。

基于前面关于更高维度的部分的类比，现在假设我们的城市不再是一个完美的正方形网格。当我们的人到达某个交叉点时，他会以相同的概率在各种可用道路之间进行选择。因此，如果交叉点有七个出口，则该人将以概率七分之一到达每个出口。这是一张图表上的随机游走。我们的人会到他家吗？事实证明，在相当温和的条件下，答案仍然是肯定的。例如，如果所有块的长度在a和b之间（其中a和b是任意两个有限的正数），那么这个人几乎肯定会到达他的家。请注意，我们不假设图形是平面的，即城市可能包含隧道和桥梁。证明这一结果的一种方法是使用与电网的连接。拿一张城市地图，在每个街区放一个欧姆电阻。现在测量“点和无穷大之间的阻力”。换句话说，选择一些数字R并从电路中取出距离大于R的电网中的所有点并将它们连接在一起。现在这是一个有限的电网，我们可以测量从我们的点到有线点的电阻。把R带到无限远。该极限称为点与无穷大之间的阻力。事实证明，以下情况属实（在Doyle和Snell的书中可以找到基本证据）：

定理：当且仅当点和无穷大之间的电阻是有限的时，图是瞬态的。如果连接图形，选择哪个点并不重要。

换句话说，在瞬态系统中，人们只需要克服有限的阻力从任何一点到达无穷大。在循环系统中，从任何点到无穷大的阻力都是无限的。

这种对瞬态和复发的描述是非常有用的，特别是它允许我们分析在距离有界的平面中绘制的城市的情况。

在图表上随机游走是马尔可夫链的一个非常特殊的情况。与一般马尔可夫链不同，图上的随机游走享有称为时间对称性或可逆性的属性。粗略地说，这个属性，也称为详细平衡原理，意味着在一个方向或另一个方向上遍历给定路径的概率在它们之间具有非常简单的连接（如果图形是规则的，它们只是相等）。这个属性有重要的后果。

从20世纪80年代开始，大量研究已经开始将图形的属性与随机游走连接起来。除了上面描述的电网连接之外，还存在与等周不等式的重要联系，这里可以看到更多的函数不等式，如Sobolev和Poincaré不等式以及拉普拉斯方程解的性质。该研究的很大一部分集中在有限生成群的Cayley图上。在许多情况下，这些离散的结果延续到歧管和李群，或者来自歧管和李群。

在随机图的背景下，特别是Erdős-Rényi模型的随机图，已经获得了对随机游走者的一些性质的分析结果。这些包括步行者的第一次[38]和最后一次击球时间[39]的分布，其中第一次击球时间是在步行者第一次进入图表的先前访问过的站点时给出的，并且最后的击球时间对应于如果没有重新访问之前访问过的网站，助手第一次无法执行额外的移动。

Aldous和Fill的在线书籍是图表随机游走的一个很好的参考。对于团体，请参阅Woess一书。如果转换内核本身是随机的（基于环境），则随机游走称为“随机环境中的随机游走” ”。当随机游动的规律包括的随机性时，该法则称为退火法则;另一方面，如果被视为固定的，则该法律被称为淬火法则。参见休斯的书，Revesz的书，或Zeitouni的讲义。

我们可以考虑以与本地最大化不确定性（熵）相同的概率选择每个可能的边缘。我们也可以在全局范围内进行 - 在最大熵随机游走（MERW）中我们希望所有路径都是同等可能的，换句话说：对于每两个顶点，给定长度的每条路径同样是可能的。这种随机游走具有更强的定位特性。

自我互动随机游走

有许多有趣的随机路径模型，其中每个步骤以复杂的方式依赖于过去。 与通常的随机游走相比，所有这些都比分析解决更复杂; 仍然，任何模型的随机漫步者的行为都可以使用计算机获得。 例子包括：

• The self-avoiding walk.[40]

在Z ^ d上长度为n的自避行走是从原点开始的随机n步路径，仅在Z ^ d中的相邻站点之间进行过渡，从不重新访问站点，并且在所有这样的路径中均匀地选择。 在两个方面，由于自我陷阱，典型的自我避免步行非常短，[41]而在更高维度，它超越了所有界限。 该模型经常用于聚合物物理学（自20世纪60年代以来）。

• The loop-erased random walk.[42][43]
• The reinforced random walk.[44]
• The exploration process.[citation needed]
• The multiagent random walk.[45]

远程相关步行

在许多生物，气候和经济系统中发现了长程相关时间序列。

• Heartbeat records[46]
• Non-coding DNA sequences[47]
• Volatility time series of stocks[48]
• Temperature records around the globe[49]

偏向随意走在图上

Main article: Biased random walk on a graph

最大熵随机游走

Main article: Maximal entropy random walk

选择随机游走以使熵率最大化，具有更强的定位特性。

相关的随机游走

随机行走，其中一次移动方向与下一次移动方向相关。 它被用来模拟动物运动。[50] [51]

也可以看看

• Branching random walk
• Brownian motion
• Law of the iterated logarithm
• Lévy flight
• Lévy flight foraging hypothesis
• Loop-erased random walk
• Maximal Entropy Random Walk
• Self-avoiding walk
• Unit root

参考

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参考书目

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外部链接

• Pólya's Random Walk Constants
• Random walk in Java Applet
• Quantum random walk
• Gaussian random walk estimator
• Electron Conductance Models Using Maximal Entropy Random Walks Wolfram Demonstrations Project

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Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk  Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
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Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model  Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process  Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation  Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space  Classical Abstract
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