群的定义
若非空集合\(G\)和定义在\(G\)上的二元运算\(⋅\)构成的代数结构\((G,⋅)\)，满足：
- 封闭性：\(\forall a,b\in G\)，有\(a⋅b\in G\)。
- 结合律：\(\forall a,b,c\in G\)，有\((a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\)。
- 单位元：\(\exists e\in G\)，满足\(\forall a\in G\)有\(a⋅e=a\)。
- 逆元：\(\forall a\in G\)，\(\exists b\in G\)使得\(a⋅b=e\)，记\(a^{-1}=b\)。
则代数结构\((G,⋅)\)是一个群（group）。
常见的群有：整数、有理理数、实数加法群；模\(n\)意义下的加法群；模\(n\)意义下与\(n\)互质的数构成的乘法群；置换群，群的元素是一个双射\(f\)，运算为映射的复合。
拉格朗日定理
对于群\((G,⋅)\)，若有\(G'\subset G\)且\((G',⋅)\)也是群，则称\((G',⋅)\)是\((G,⋅)\)的子群，且\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。
证明：
记\(G_a\)表示集合\(G\)的陪集\(\{x⋅a|x\in G\}\)，那么易知\(|G_a|=|G|\)。
对于\(a,b\in G\)，若有\(G'_a\cap G'_b \neq \emptyset\)，则\(\exists x,y\in G'\)满足\(x⋅a=y⋅b ⇔ a=x^{-1}⋅y⋅b\)。
那么\(\forall z\in G'\)，有\(z⋅a=z⋅(x^{-1}⋅y⋅b)=(z⋅x^{-1}⋅y)⋅b\)。易知\(z⋅x^{-1}⋅y \in G'\)，所以\(G'_a\)中的每一个元素都存在于\(G'_b\)中，即\(G'_a=G'_b\)。
于是可知\(G'\)的陪集之间只有两种关系，互不相交或完全相同。而由于\(e\in G'\)，所以\(G'\)的所有陪集的并就是\(G\)。又由于陪集的大小等于原集合，所以\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。
由拉格朗日定理可以推出欧拉定理\(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。
证明：
设集合\(S=\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\)，其中\(gcd(a_i,n)=1\)。\(S\)与模乘法形成的代数结构\((S,\times)\)是群。
那么设\(S_i=\{1,a_i,a_i^2,a_i^3...\}\)，易知\((S_i,\times)\)是\((S,\times)\)的子群，即\(|S_i||\varphi(n)\)。而\(a_i^{|S_i|}\equiv 1\)，所以\(a_i^{\varphi(n)}\equiv 1\)。