Hard！
题目描述：
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
上图为 8 皇后问题的一种解法。
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例:
输入: 4 输出: [ [".Q..", // 解法 1 "...Q", "Q...", "..Q."], ["..Q.", // 解法 2 "Q...", "...Q", ".Q.."] ] 解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
解题思路：
经典的N皇后问题，基本所有的算法书中都会包含的问题，经典解法为回溯递归，一层一层的向下扫描，需要用到一个pos数组，其中pos[i]表示第i行皇后的位置，初始化为-1，然后从第0开始递归，每一行都依次遍历各列，判断如果在该位置放置皇后会不会有冲突，以此类推，当到最后一行的皇后放好后，一种解法就生成了，将其存入结果res中，然后再继续完成搜索剩余所有的情况。
C++解法一：
1 class Solution { 2 public: 3 vector<vector<string> > solveNQueens(int n) { 4 vector<vector<string> > res; 5 vector<int> pos(n, -1); 6 solveNQueensDFS(pos, 0, res); 7 return res; 8 } 9 void solveNQueensDFS(vector<int> &pos, int row, vector<vector<string> > &res) { 10 int n = pos.size(); 11 if (row == n) { 12 vector<string> out(n, string(n, '.')); 13 for (int i = 0; i < n; ++i) { 14 out[i][pos[i]] = 'Q'; 15 } 16 res.push_back(out); 17 } else { 18 for (int col = 0; col < n; ++col) { 19 if (isValid(pos, row ,col)) { 20 pos[row] = col; 21 solveNQueensDFS(pos, row + 1, res); 22 pos[row] = -1; 23 } 24 } 25 } 26 } 27 bool isValid(vector<int> &pos, int row, int col) { 28 for (int i = 0; i < row; ++i) { 29 if (col == pos[i] || abs(row - i) == abs(col - pos[i])) { 30 return false; 31 } 32 } 33 return true; 34 } 35 };
这种棋盘类的题目一般是回溯法, 依次放置每行的皇后。在放置的时候，要保持当前的状态为合法，即当前放置位置的同一行、同一列、两条对角线上都不存在皇后。
C++解法二：
1 class Solution { 2 private: 3 vector<vector<string> > res; 4 public: 5 vector<vector<string> > solveNQueens(int n) { 6 vector<string>cur(n, string(n,'.')); 7 helper(cur, 0); 8 return res; 9 } 10 void helper(vector<string> &cur, int row) 11 { 12 if(row == cur.size()) 13 { 14 res.push_back(cur); 15 return; 16 } 17 for(int col = 0; col < cur.size(); col++) 18 if(isValid(cur, row, col)) 19 { 20 cur[row][col] = 'Q'; 21 helper(cur, row+1); 22 cur[row][col] = '.'; 23 } 24 } 25 26 //判断在cur[row][col]位置放一个皇后，是否是合法的状态 27 //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。 28 bool isValid(vector<string> &cur, int row, int col) 29 { 30 //列 31 for(int i = 0; i < row; i++) 32 if(cur[i][col] == 'Q')return false; 33 //右对角线(只需要判断对角线上半部分，因为后面的行还没有开始放置) 34 for(int i = row-1, j=col-1; i >= 0 && j >= 0; i--,j--) 35 if(cur[i][j] == 'Q')return false; 36 //左对角线(只需要判断对角线上半部分，因为后面的行还没有开始放置) 37 for(int i = row-1, j=col+1; i >= 0 && j < cur.size(); i--,j++) 38 if(cur[i][j] == 'Q')return false; 39 return true; 40 } 41 };
上述判断状态是否合法的函数还是略复杂，其实只需要用一个一位数组来存放当前皇后的状态。假设数组为int state[n], state[i]表示第 i 行皇后所在的列。那么在新的一行 k 放置一个皇后后:
- 判断列是否冲突，只需要看state数组中state[0…k-1] 是否有和state[k]相等；
- 判断对角线是否冲突：如果两个皇后在同一对角线，那么|row1-row2| = |column1 - column2|，（row1，column1），（row2，column2）分别为冲突的两个皇后的位置
C++解法三：
1 class Solution { 2 private: 3 vector<vector<string> > res; 4 public: 5 vector<vector<string> > solveNQueens(int n) { 6 vector<int> state(n, -1); 7 helper(state, 0); 8 return res; 9 } 10 void helper(vector<int> &state, int row) 11 {//放置第row行的皇后 12 int n = state.size(); 13 if(row == n) 14 { 15 vector<string>tmpres(n, string(n,'.')); 16 for(int i = 0; i < n; i++) 17 tmpres[i][state[i]] = 'Q'; 18 res.push_back(tmpres); 19 return; 20 } 21 for(int col = 0; col < n; col++) 22 if(isValid(state, row, col)) 23 { 24 state[row] = col; 25 helper(state, row+1); 26 state[row] = -1;; 27 } 28 } 29 30 //判断在row行col列位置放一个皇后，是否是合法的状态 31 //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。 32 bool isValid(vector<int> &state, int row, int col) 33 { 34 for(int i = 0; i < row; i++)//只需要判断row前面的行，因为后面的行还没有放置 35 if(state[i] == col || abs(row - i) == abs(col - state[i])) 36 return false; 37 return true; 38 } 39 };
C++解法四（解法三的非递归版）：
1 class Solution { 2 private: 3 vector<vector<string> > res; 4 public: 5 vector<vector<string> > solveNQueens(int n) { 6 vector<int> state(n, -1); 7 for(int row = 0, col; ;) 8 { 9 for(col = state[row] + 1; col < n; col++)//从上一次放置的位置后面开始放置 10 { 11 if(isValid(state, row, col)) 12 { 13 state[row] = col; 14 if(row == n-1)//找到了一个解,继续试探下一列 15 { 16 vector<string>tmpres(n, string(n,'.')); 17 for(int i = 0; i < n; i++) 18 tmpres[i][state[i]] = 'Q'; 19 res.push_back(tmpres); 20 } 21 else {row++; break;}//当前状态合法，去放置下一行的皇后 22 } 23 } 24 if(col == n)//当前行的所有位置都尝试过，回溯到上一行 25 { 26 if(row == 0)break;//所有状态尝试完毕，退出 27 state[row] = -1;//回溯前清除当前行的状态 28 row--; 29 } 30 } 31 return res; 32 } 33 34 //判断在row行col列位置放一个皇后，是否是合法的状态 35 //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。 36 bool isValid(vector<int> &state, int row, int col) 37 { 38 for(int i = 0; i < row; i++)//只需要判断row前面的行，因为后面的行还没有放置 39 if(state[i] == col || abs(row - i) == abs(col - state[i])) 40 return false; 41 return true; 42 } 43 };
下面还有一个算法，这个算法主要参考：https://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6657109。看helper函数，参数row、ld、rd分别表示在列和两个对角线方向的限制条件下，当前行的哪些地方不能放置皇后。如下图
前三行放置了皇后，他们对第3行（行从0开始）的影响如下：
（1）列限制条件下，第3行的0、2、4列（紫色线和第3行的交点）不能放皇后，因此row = 101010
（2）左对角线限制条件下，第3行的0、3列（蓝色线和第3行的交点）不能放皇后，因此ld = 100100
（3）右对角线限制条件下，第3行的3、4、5列（绿色线和第3行的交点）不能放皇后，因此rd = 000111
~(row | ld | rd) = 010000，即第三行只有第1列能放置皇后。
在3行1列这个位置放上皇后，row，ld，rd对下一行的影响为：
row的第一位置1，变为111010
ld的第一位置1，并且向左移1位（因为左对角线对行的影响是依次向左倾斜的），变为101000
rd的第一位置1，并且向右移1位（因为右对角线对行的影响是依次向右倾斜的），变为001011
第4行状态如下图
C++解法五（这应该是最高效的算法了）：
1 class Solution { 2 private: 3 vector<vector<string> > res; 4 int upperlim; 5 public: 6 vector<vector<string> > solveNQueens(int n) { 7 upperlim = (1 << n) - 1;//低n位全部置1 8 vector<string> cur(n, string(n, '.')); 9 helper(0,0,0,cur,0); 10 return res; 11 } 12 13 void helper(const int row, const int ld, const int rd, vector<string>&cur, const int index) 14 { 15 int pos, p; 16 if ( row != upperlim ) 17 { 18 pos = upperlim & (~(row | ld | rd ));//pos中二进制为1的位，表示可以在当前行的对应列放皇后 19 //和upperlim与运算，主要是ld在上一层是通过左移位得到的，它的高位可能有无效的1存在，这样会清除ld高位无效的1 20 while ( pos ) 21 { 22 p = pos & (~pos + 1);//获取pos最右边的1,例如pos = 010110，则p = 000010 23 pos = pos - p;//pos最右边的1清0 24 setQueen(cur, index, p, 'Q');//在当前行，p中1对应的列放置皇后 25 helper(row | p, (ld | p) << 1, (rd | p) >> 1, cur, index+1);//设置下一行 26 setQueen(cur, index, p, '.'); 27 } 28 } 29 else//找到一个解 30 res.push_back(cur); 31 } 32 33 //第row行，第loc1(p)列的位置放置一个queen或者清空queen，loc1(p)表示p中二进制1的位置 34 void setQueen(vector<string>&cur, const int row, int p, char val) 35 { 36 int col = 0; 37 while(!(p & 1)) 38 { 39 p >>= 1; 40 col++; 41 } 42 cur[row][col] = val; 43 } 44 };