前言
能够使用状态压缩技巧的动态规划都是二维dp问题，看它的状态转移方程，如果计算状态dp[i][j]需要的都是dp[i][j]相邻的状态，那么就可以使用状态压缩技巧，将二维的dp数组转化成一维，将空间复杂度从 O(N^2) 降低到 O(N)。
值得一提的是，状态压缩虽然能节省空间，但是会使代码的可读性变差，初次接触优化后的代码时，难免满头问号，我们首先要掌握好普通的动态规划问题的迭代解法，以此为基础，才能更好地理解压缩的方法和原理。
完全背包状态压缩
力扣518.零钱兑换Ⅱ
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。假设每一种面额的硬币有无限个。
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
定义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，凑出金额j的方式数
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int n=coins.length;
int dp[][]=new int[n+1][amount+1];
for(int i=0;i<=n;i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=amount;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j]+(j>=coins[i-1]?dp[i][j-coins[i-1]]:0);
}
}
return dp[n][amount];
}
}
二维转一维
其中核心的递推式是：
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i-1]];
按照前文状态压缩技巧总结（01背包）的状态压缩步骤，首先将直接二维变到一维;
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int n=coins.length;
int[] dp=new int[amount+1];
dp[0] = 1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=amount;j++){
if (j < coins[i-1]) continue;
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i-1]];
}
}
return dp[amount];
}
}
分析数据覆盖问题
然后推测一下到底要不要改变遍历的顺序，这里是按照j由小增大的顺序遍历的，那这样是否会覆盖数据呢
如上图所示：
1.dp[i][j]的推导会用到第i行的0到j-1列的值，以及第i-1行第j列的值。
2.dp[0…j-1]存储的是第i行的数据dp[i][0…j-1]，而最后一列存储的是dp[i-1][j]的值，所以我们能够用一个一维数组存储需要用到的所有数据。
3.j由小增大不会覆盖数据：
例如：求dp[2]会用到第i-1行dp[i-1][2]，假设可能用到第i行dp[i][0]、dp[i][1]
dp[i][2]=dp[i-1][2]+dp[i][0]+dp[i][1]；
将新求得的dp[2]（即dp[i][2]）填入压缩后的一维数组时会覆盖原来的dp[i-1][2]的值，而导致后面计算dp[3]、dp[4]等dp值时，若再要用到dp[2]，拿到的是新求得的dp[i][2]值，符合完全背包的定义，即第i个物品可以重复选择，所以不会覆盖数据。
力扣322.零钱兑换
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。每种硬币的数量是无限的（暗示完全背包）。
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
定义：dp[i][j]表示只选择前i种硬币，凑出金额j所需的最少硬币数
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[][] dp=new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=1;i<=amount;i++){
dp[0][i]=amount+1;
}//一种都不选凑不出i>0的数，初始化为不可能达到的结果
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=1;j<=amount;j++){
if(j>=coins[i-1]){
dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-coins[i-1]]+1);
}else{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[coins.length][amount]>amount?-1:dp[coins.length][amount];
}
}
二维转一维
状态压缩的代码同理
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[]dp=new int[amount+1];
for(int i=1;i<=amount;i++){
dp[i]=amount+1;
}//一种都不选凑不出i>0的数，初始化为不可能达到的结果
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=1;j<=amount;j++){
if(j<coins[i-1])continue;
dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i-1]]+1);
}
}
return dp[amount]>amount?-1:dp[amount];
}
}