动态规划&背包九讲&完全背包

完全背包

• 题目：
  有N件物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i件物品耗费的费用为C_i，得到的价值为W_i。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大
  
  
• 分析:
  这个问题类似于01背包，不同的是每件物品都有无限件，可以取0,1,2···v/c_i件。
  
  
• 状态转移方程1:
  设F[i][v]表示容量为v的背包在选择前i件物品所能获得的最大价值。

  F[i][v]=max{F[i-1][v-k*c_i]+k*w_i | 0<=k*c_i<=v}

  此方程由01背包的状态转移方程得来(01背包具体看 01背包)。
  
  
  • 解释：每件物品都可以选择若干件，k为选择的件数。把第i件物品拆分成v/c_i件物品，每件物品都是关于选或者不选的01问题，这就转化成了01背包问题了。但是此问题还有另一个状态转移方程。
    
    
• 状态转移方程2
  
  F[i][v]=max{F[i-1][v]，F[i][v-c_i]+w_i}
  
  
  • 解释：此方程与01背包方程十分相似，可能还不容易看出不同。只有F[i][v-c_i]做出了改变。这样和01背包的状态方程有什么不一样的地方呢？
    01背包中每件物品只能选择0次或1次，在选择第i件物品的时候，依赖的子问题绝无选入第i件的可能，因此只能在F[i-1][]中选。
    而完全背包问题则不同，每件物品都有无限件。当背包的容量为v，取第i件物品时。要么不取，结果就跟F[i-1][v]一致；要么在可能已经选入第i种物品的结果F[i-1][v-c_i]中加选一件。
    
    

• 填表：

  • 如前一篇介绍01背包的文章中说到，动态规划的问题使用填表法来理解会
  • 假设输入：
    
    
    
  • F[][]表(背包容量为8)：
    
    
    

• 伪代码：

• 为了别的背包问题能方便调用此函数，一般把for i to N这一层循环去掉（即在函数外循环）：

    ZeroOnePack(F,C,W)
        for v<-0 to V
            F[i][v] = max{F[i-1][v],F[i][v-ci]+wi}

    //然后再
         for i<--0 to N
             ZeroOnePack(F,ci,wi)       

1. 初始化细节问题:
求最优解的问题中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求恰好装满背包时的最优解，有的题目则没有要求装满。一种区别这两种问法的实现方法是初始化时有所不同。

1. 要求恰好装满背包：F[0]设为0，其余设为负无穷。可以这样理解：放入第0件物品，只有容量为0的背包在什么也不装且价值为0的情况下恰好被装满。其他容量的背包在不装入物品的时候均没有合法的解，即不能使背包装满，属于未定义的状态，应赋予负无穷。
2. 没有要求恰好装满背包：如果背包并非必须被装满，那么任何容量都有一个合法的解：什么也不装。所以初始状态F[0…V]均可以被赋值为0。