继上一篇01基础背包,本文主要利用Java实现“完全背包”问题,该问题类似于基础背包问题,主要区别在于“完全背包”对于放置的物品个数没有限制,即可以重复选取,每个物品的选取放置次数可以是0、1、2······,情况相比基础背包要复杂的多,其核心方程也可以写成类似于01问题的方程,如下:
c[i][j] = max(c[i-1][j-(k*w[i-1])] + k*v[i-1], c[i-1][j])
其中,k表示该物品放置次数,该公式完全由基础背包方程演化而来。
假设:定义可容纳总重量W =10 Kg,物品种类 N = 4,每件物品重量w[i],对应价值v[i],求解在可容纳重量范围内如何选取可获最大价值。
本题具体题目:
可能出现的背包情况:
上述表格同样从左到右,从上到下生成,其生成原理同上一篇博文一样,这里不做赘述,以下为采用二维数组和一维数组处理该问题的源代码:
//一维数组,只需要将01问题中的j循环顺序逆序即可
private static int[] BP_method02_1D(int m,int n,int[] w,int[] v){
int c[] = new int[m+1];
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
c[i] = 0;//不必完全装满,则全部初始化为0
}
for (int i = 0; i < n; i++) {//限定物品种类,无重复
for (int j = w[i]; j < m+1; j++) {//限定总重量
c[j] = Math.max(c[j-w[i]] + v[i], c[j]);
}
}
return c;
}
//二维数组处理,注意k循环中获取最大价值采用了List集合排序
private static int[][] BP_method02_2D(int m,int n,int[] w,int[] v){
int c[][] = new int[n+1][m+1];
List<Integer> list = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n+1; i++) {
c[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
c[0][i] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {//限定物品种类,无重复
for (int j = 1; j <= m; j++) {//限定总重量
list.clear();
for (int k = 0; (k*w[i-1] <= m) && (k*w[i-1]>= 0); k++) {
if (j >= k*w[i-1]) {
list.add( Math.max(c[i-1][j-(k*w[i-1])] + k*v[i-1], c[i-1][j]));
}
}
c[i][j] = Collections.max(list);
}
}
return c;
}
其输出结果如下:
一维选取:
0 0 5 5 10 10 15 15 20 20 25
二维选取:
0 3 3 6 6 9 9 12 12 15
0 3 4 6 7 9 10 12 13 15
0 5 5 10 10 15 15 20 20 25
0 5 5 10 10 15 15 20 20 25