线性函数与对偶空间

笔记总结自：高等代数-丘维声-线性映射部分的最后一小节

线性映射与线性函数

设$V$和$V^{\prime }$是域$F$上的两个线性空间，$A$是$V$到$V^{\prime }$的一个映射，若$A$满足：

  $A(\alpha +\beta )=A(\alpha )+A(\beta ),\forall \alpha ,\beta \in V$（保持加法运算）

  $A(k\alpha )=kA(\alpha ),\forall \alpha \in V,k\in F$（保持纯量乘法运算）

则称$A$是$V$到$V^{\prime }$的一个线性映射

域$F$上的线性空间$V$到$F$的线性映射称为$V$上的线性函数

线性空间的定义：

$F$是一个域，$V$是一个非空集合。对于任意的$\alpha ,\beta ,\gamma \in V$，任意的$k,l\in F$，有：

1. $\alpha +\beta =\beta +\alpha$（加法交换律）
2. $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$（加法结合律）
3. $V$中有一个零元$0$，$\forall \alpha \in V,\alpha +0=\alpha$
4. 任意$\alpha \in V$，存在${\alpha }^{\prime }\in V$，使得$\alpha +{\alpha }^{\prime }=0$。具有这个性质的元素${\alpha }^{\prime }$称为$\alpha$的负元
5. $1\alpha =\alpha$，$1$是域$F$中的乘法单位元
6. $(kl)\alpha =k(l\alpha )$
7. $(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
8. $k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

则称$V$是域$F$上的一个线性空间

线性函数在一组基下的表达式

设$V$是域$F$上的线性空间，记$V$的维度$dimV=n$

在$V$中取一个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，则$V$中任一向量$\alpha$可用这组基线性表述，记为：

  $\alpha =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n$

其中$(x_1,\cdots ,x_n)$是向量$\alpha$在这组基下的坐标

设$f$是$V$上的一个线性函数，由定义知$f$保持加法和纯量乘法，因此：

  $\begin{array}{rl}f(\alpha )& =f(x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n)\\ & =f(x_1{\alpha }_1)+\cdots +f(x_n{\alpha }_n)\\ & =x_{1}f({\alpha }_1)+\cdots +x_{n}f({\alpha }_n)\end{array}$

我们把式子$f(\alpha )=x_{1}f({\alpha }_1)+\cdots +x_{n}f({\alpha }_n)$称为$f$在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$下的表达式

任给域$F$中$n$个元素$a_1,\cdots ,a_n$，存在唯一的线性函数$f$使得$f({\alpha }_i)=a_i$，其中$i=1,2,\cdots ,n$

唯一性的证明见下述定理：

定理：

设$V$和$V^{\prime }$都是域$F$上的线性空间，$V$的维数是$n$

$V$中取一个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，$V^{\prime }$中任意取定$n$个向量${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$（${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$中可以有相同的向量）

令$A$是$V$到$V^{\prime }$的一个对应法则，它把$V$中的向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$对应到$V^{\prime }$中的向量$\sum _{i=1}^n{x}_i{\gamma }_i$

则有结论：$A$是$V$到$V^{\prime }$的一个线性映射，且$A({\alpha }_i)={\gamma }_i$，其中$i=1,2,\cdots ,n$

证明：

由于${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是$V$的一个基，所以$\alpha$表示成${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$的线性组合的方式唯一

从而对于$V$中的每一个元素$\alpha$，$V^{\prime }$中总有唯一的一个元素与它对应

因此$A$是$V$到$V^{\prime }$的一个映射

在$V$中任取两个向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$，$\beta =\sum _{i=1}^n{y}_i{\alpha }_i$，任取$k\in F$，有：

  $A(\alpha +\beta )=A(\sum _{i=1}^n(x_i+y_i){\alpha }_i)=\sum _{i=1}^n(x_i+y_i){\gamma }_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{\gamma }_i+\sum _{i=1}^n{y}_i{\gamma }_i=A(\alpha )+A(\beta )$

​  $A(k\alpha )=A(\sum _{i=1}^n(k{x}_i){\alpha }_i)=\sum _{i=1}^n(k{x}_i){\gamma }_i=k\sum _{i=1}^n{x}_i{\gamma }_i=kA(\alpha )$

因此$A$是$V$到$V^{\prime }$的一个线性映射

显然有结论：$A({\alpha }_i)=A(0{\alpha }_1+...+0{\alpha }_{i-1}+1{\alpha }_i+0{\alpha }_{i+1}+\cdots +0{\alpha }_n)={\gamma }_i$，其中$i=1,2,\cdots ,n$

假设存在$V$到$V^{\prime }$的一个线性映射$B$满足：$B({\alpha }_i)={\gamma }_i$，其中$i=1,2,\cdots ,n$

则$B({\alpha }_i)=A({\alpha }_i)$，所以$\forall \alpha \in V,B(\alpha )=x_{1}B({\alpha }_1)+\cdots +x_{n}B({\alpha }_n)=x_{1}A({\alpha }_1)+\cdots +x_{n}A({\alpha }_n)=A(\alpha )$

从而两个映射的对应法则相同，进而证得$B=A$

于是得到结论：满足且$A({\alpha }_i)={\gamma }_i(i=1,2,\cdots ,n)$的线性映射是唯一的

根据$f$在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$下的表达式$f(\alpha )=x_{1}f({\alpha }_1)+\cdots +x_{n}f({\alpha }_n)$可以得到：

  $f(\alpha )=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$

对偶空间

容易验证，线性映射的加法和纯量乘法满足线性空间定义中的8条运算法则（见上文），因此域$F$上线性空间$V$到$V^{\prime }$的所有线性映射组成的集合成为域$F$的一个线性空间，记作$Hom(V,V^{\prime })$

$Hom(V,F)$称为$V$上的线性函数空间

域$F$可以看作域$F$上的一个一维线性空间，基为$F$的单位元$1$，该线性空间中的所有元素可以由基线性表出

$dimF=1$

以下仅考虑$V$是有限维空间的情况，设$V$的维度$dimV=n$

把$Hom(V,F)$记成$V^{\ast }$，我们称$V^{\ast }$是$V$的对偶空间

$V^{\ast }$的维数$dim{V}^{\ast }=dimHom(V,F)=(dimV)(dimF)=dimV=n$

可以证明：

域$F$上$n$维线性空间$V$到$s$维线性空间$V^{\prime }$的每一个线性映射都可以用一个$s\times n$矩阵来表示

记域$F$上所有$s\times n$矩阵组成的集合为$M_{s\times n}(F)$，$Hom(V,V^{\prime })$和$M_{s\times n}(F)$都是域$F$上的一个线性空间，且$Hom(V,V^{\prime })$同构于$M_{s\times n}(F)$

于是有：

$dimHom(V,V^{\prime })=dim{M}_{s\times n}(F)=sn=(dimV)(dim{V}^{\prime })$

因此$V^{\ast }$与$V$同构

定理：同一域上的两个有限维线性空间同构$\iff$它们的维数相同

同构的定义：

设$V$与$V^{\prime }$都是域$F$上的线性空间，如果有$V$到$V^{\prime }$的一个双射$\sigma$，使得对于任意$\alpha ,\beta \in V,k\in F$，有：

  $\sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta )$

  $\sigma (k\alpha )=k\sigma (\alpha )$

那么称$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的一个同构映射（简称为同构）

如果$V$到$V^{\prime }$有一个同构映射，则称$V$与$V^{\prime }$是同构的，记作$V\cong V^{\prime }$

定理的证明：

必要性：

设$V$与$V^{\prime }$都是域$F$上的有限维线性空间，$\sigma$是它们之间的同构映射

引理1（本引理中为线性空间里的元素添加小箭头，以便区分域$F$中的元素）：$\sigma (\vec{0})$是$V^{\prime }$的零元${\vec{0}}^{\prime }$

引理1证明：$0\vec{\alpha }=\vec{0}\Rightarrow \sigma (\vec{0})=\sigma (0\vec{\alpha })=0\sigma (\vec{\alpha })={\vec{0}}^{\prime }$

引理2：$V$中的向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关当且仅当$\sigma ({\alpha }_1),\sigma ({\alpha }_2),\cdots ,\sigma ({\alpha }_n)$线性无关

引理2证明：因为$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的一个单射，所以如果$\sigma (\alpha )=\sigma (\beta )$，则$\alpha =\beta$，于是根据引理1有：

  $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0\iff \sigma (k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s)=\sigma (0)\iff k_1\sigma ({\alpha }_1)+k_2\sigma ({\alpha }_2)+\cdots +k_s\sigma ({\alpha }_s)=0^{\prime }$

引理3：如果${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是$V$的一个基，则$\sigma ({\alpha }_1),\sigma ({\alpha }_2),\cdots ,\sigma ({\alpha }_n)$是$V^{\prime }$的一个基

引理3证明：根据引理2，$\sigma ({\alpha }_1),\sigma ({\alpha }_2),\cdots ,\sigma ({\alpha }_n)$是$V^{\prime }$的一个线性无关向量组。任取$\beta \in V^{\prime }$，由于$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的一个单射，因此存在$\alpha \in V$，使得$\sigma (\alpha )=\beta$。设$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$，则$\beta =\sigma (\alpha )=x_1\sigma ({\alpha }_1)+x_2\sigma ({\alpha }_2)+\cdots +x_n\sigma ({\alpha }_n)$。因此$\sigma ({\alpha }_1),\sigma ({\alpha }_2),\cdots ,\sigma ({\alpha }_n)$是$V^{\prime }$的一个基

由引理3立即可证必要性

充分性：

设$V$与$V^{\prime }$都是域$F$上的线性空间，$dim{V}^{\ast }=dimV=n$

在$V$中取一个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，在$V^{\prime }$中取一个基${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$

令$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的一个对应法则，它把$V$中的向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{a}_i{\alpha }_i$对应到$V^{\prime }$中的向量$\sum _{i=1}^n{a}_i{\gamma }_i$

$V$中每一个向量$\alpha$都有$V^{\prime }$中唯一的向量与$\alpha$对应；由于${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$是$V^{\prime }$的一个基，因此$V$中不同的向量对应于$V^{\prime }$中不同的向量；并且$V^{\prime }$中每一个向量$\delta =\sum _{i=1}^n{b}_i{\gamma }_i$都有$V$中向量$\beta =\sum _{i=1}^n{b}_i{\alpha }_i$对应于$\delta$。因此$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的一个双射

设$\alpha =\sum _{i=1}^n{a}_i{\alpha }_i$，$\beta =\sum _{i=1}^n{b}_i{\gamma }_i$，$k\in F$，则：

  $\sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\sum _{i=1}^n(a_i+b_i){\alpha }_i)=\sum _{i=1}^n(a_i+b_i){\gamma }_i=\sum _{i=1}^n{a}_i{\gamma }_i+\sum _{i=1}^n{b}_i{\gamma }_i=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta )$

​  $\sigma (k\alpha )=\sigma (\sum _{i=1}^n(k{a}_i){\alpha }_i)=\sum _{i=1}^n(k{a}_i){\gamma }_i=k\sum _{i=1}^n{a}_i{\gamma }_i=k\sigma (\alpha )$

因此$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的一个同构映射，从而$V\cong V^{\prime }$

对偶基

$V$是域$F$上的线性空间，$V$中取一个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，现要求$V^{\ast }$的一个基

上文中我们证明了：

任给域$F$中$n$个元素$a_1,\cdots ,a_n$，存在唯一的线性函数$f$使得$f({\alpha }_i)=a_i$，其中$i=1,2,\cdots ,n$

因此：

$F$中给定$n$个元素	$V$上的线性函数
$1,0,0,\cdots ,0$	存在唯一的$f_1$，使得$f_1({\alpha }_1)=1$，且$f_1({\alpha }_j)=0,j\ne 1$
$0,1,0,\cdots ,0$	存在唯一的$f_2$，使得$f_2({\alpha }_2)=1$，且$f_2({\alpha }_j)=0,j\ne 2$
$\cdots$	$\cdots$
$0,0,0,\cdots ,1$	存在唯一的$f_n$，使得$f_n({\alpha }_n)=1$，且$f_j({\alpha }_j)=0,j\ne n$

我们希望$f_1,f_2,\cdots ,f_n$线性无关，于是尝试证明它

设$k_1{f}_1+k_2{f}_2+\cdots +k_n{f}_n=0$，其中$k_1,k_2,\cdots ,k_n\in F$，等式右边的$0$表示$0$函数

考虑等式左右两边在${\alpha }_1$上的函数值：$k_1{f}_1({\alpha }_1)+k_2{f}_2({\alpha }_1)+\cdots +k_n{f}_n({\alpha }_1)=0$，等式右边的$0$表示域$F$中的零元，即$0$函数作用在${\alpha }_1$上得到的结果。因为$f_1({\alpha }_1)=1$，且$f_j({\alpha }_1)=0,j\ne 1$，所以$k_1=0$

同理：

  $k_1{f}_1({\alpha }_2)+k_2{f}_2({\alpha }_2)+\cdots +k_n{f}_n({\alpha }_2)=0\Rightarrow k_2=0$

  $⋮$

  $k_1{f}_1({\alpha }_n)+k_2{f}_2({\alpha }_n)+\cdots +k_n{f}_n({\alpha }_n)=0\Rightarrow k_n=0$

从而$k_1=k_2=\cdots =k_n=0$，$f_1,f_2,\cdots ,f_n$线性无关

又由于$dim{V}^{\ast }=n$，因此$f_1,f_2,\cdots ,f_n$是$V^{\ast }$的一个基

线性空间$V$具有这样的性质：如果$dimV=n$，则$V$中任意$n$个线性无关的向量都是$V$的一个基

在$V$中任取$n$个线性无关的向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，可以证明：

$\forall \beta \in V,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\beta$线性相关$\Rightarrow$$\beta$可以由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性表出$\Rightarrow$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是$V$的一个基

我们把$f_1,f_2,\cdots ,f_n$称为$V$的基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$的对偶基

从上述求对偶基的过程中，可以得到它的一个性质：

  $f_i({\alpha }_j)=\{\begin{array}{rl}1& (j=i)\\ 0& (j\ne i)\end{array}$

也可以写成 f i ( α j ) = δ i j , i , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } f_i(\alpha_j)=\delta_{ij},\quad i,j\in\{1,2,\cdots,n\} fi​(αj​)=δij​,i,j∈{ 1,2,⋯,n}，其中$\delta$称为克罗内克尔符号（kronecker symbol）

$V$与$V^{\ast }$中元素坐标的性质

设$V$中任一向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$，现要求$\alpha$在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$下的坐标$x_1,x_2,\cdots ,x_n$

考虑$f_i$在$\alpha$上的函数值，其中$i=1,2,\cdots ,n$，有：

  $f_i(\alpha )=\sum _{j=1}^n{x}_j{f}_i({\alpha }_j)=x_i$（仅当$j=i$时$f_i({\alpha }_j)=1$，否则$f_i({\alpha }_j)=0$）

因此：

  $\alpha =\sum _{i=1}^n{f}_i(\alpha ){\alpha }_i$

接着求$V^{\ast }$中任一元素$f=\sum _{i=1}^n{k}_i{f}_i$在基$f_1,f_2,\cdots ,f_n$下的坐标$k_1,k_2,\cdots ,k_n$

考虑$f$在${\alpha }_i$上的函数值，其中$i=1,2,\cdots ,n$，有：

  $f({\alpha }_i)=(\sum _{j=1}^n{k}_j{f}_j)({\alpha }_i)=\sum _{j=1}^n{k}_j{f}_j({\alpha }_i)=k_i$

因此：

  $f=\sum _{i=1}^{n}f({\alpha }_i)f_i$

对偶基与过渡矩阵

设$V$是域$F$上的$n$维线性空间

在$V$中取两个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$和${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$

它们的对偶基分别是$f_1,f_2,\cdots ,f_n$和$g_1,g_2,\cdots ,g_n$

如果：

  $({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)A$

  $(g_1,g_2,\cdots ,g_n)=(f_1,f_2,\cdots ,f_n)B$

其中$A$称为$V$中基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$到基${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$的过渡矩阵，$B$称为$V^{\ast }$中基$f_1,f_2,\cdots ,f_n$到基$g_1,g_2,\cdots ,g_n$的过渡矩阵

接下来探讨矩阵$A$与矩阵$B$的关系

由$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)A$可以得到：

  $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)A^{-1}$

定理：过渡矩阵一定是可逆矩阵

证明：

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$和${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$都是$V$的基，$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)A$

设$X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$

${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$线性无关$\Rightarrow$$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)X=0$只有零解$\Rightarrow$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)AX=0$只有零解

又由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关，得到$AX=0$只有零解

于是$|A|\ne 0$，所以$A$是可逆矩阵

设$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}{c}_{11}& \cdots & c_{1j}& \cdots & c_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& \cdots & c_{nj}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$

则$\forall j=1,2,\cdots ,n$，有：

  ${\alpha }_j=\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{\beta }_i$

由上一小节所证，$\beta$在基${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$下的坐标的第$i$个分量$=$对偶基的第$i$个线性函数$g_i$在$\beta$的函数值$g_i(\beta )$。用${\alpha }_j$替换$\beta$得到式子：

  ${\alpha }_j=\sum _{i=1}^n{g}_i({\alpha }_j){\beta }_i$

从而得到：

  $\begin{array}{l}{\alpha }_j=\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{\beta }_i\\ {\alpha }_j=\sum _{i=1}^n{g}_i({\alpha }_j){\beta }_i\end{array}\}\Rightarrow c_{ij}=g_i({\alpha }_j)$

设$B=\left(\begin{array}{ccccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1i}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{ni}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)$

$\forall i=1,2,\cdots ,n$，由$(g_1,g_2,\cdots ,g_n)=(f_1,f_2,\cdots ,f_n)B$可得：

  $g_i=\sum _{j=1}^n{b}_{ji}{f}_i$

由上一小节所证，线性函数$f$在对偶基$f_1,f_2,\cdots ,f_n$下的坐标的第$j$个分量$=$$f$在${\alpha }_j$处的函数值$f({\alpha }_j)$。用$g_i$替换$f$得到式子：

  $g_i=\sum _{j=1}^n{g}_i({\alpha }_j)f_j$

从而得到：

  $\begin{array}{l}{g}_i=\sum _{j=1}^n{b}_{ji}{f}_i\\ g_i=\sum _{j=1}^n{g}_i({\alpha }_j)f_j\end{array}\}\Rightarrow b_{ji}=g_i({\alpha }_j)$

于是：

  $\begin{array}{l}{c}_{ij}=g_i({\alpha }_j)\\ b_{ji}=g_i({\alpha }_j)\end{array}\}\Rightarrow b_{ji}=c_{ij}$

那么得出结论：

  $B=(A^{-1}{)}^T$

双重对偶空间

设$V$是域$F$上的$n$维线性空间，那么$V$的对偶空间$V^{\ast }$也是域$F$上的$n$维线性空间，因此$V^{\ast }$也有对偶空间$(V^{\ast }{)}^{\ast }$，简记为$V^{\ast \ast }$

$V^{\ast \ast }$称为$V$的双重对偶空间

由对偶空间的性质知：

  $dim{V}^{\ast \ast }=dim{V}^{\ast }=dimV=n$

  $V\cong V^{\ast }\cong V^{\ast \ast }$（这三个线性空间同构）

$V$中取一个基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$

$V^{\ast }$中关于${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$的对偶基为$f_1,f_2,\cdots ,f_n$

$V^{\ast \ast }$中关于$f_1,f_2,\cdots ,f_n$的对偶基记作${\alpha }_1^{\ast \ast },{\alpha }_2^{\ast \ast },\cdots ,{\alpha }_n^{\ast \ast }$

设$\sigma$是$V$到$V^{\ast }$的一个同构映射，它把$V$中的向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$映射为$V^{\ast }$中的向量$f=\sum _{i=1}^n{x}_i{f}_i$

设$\tau$是$V^{\ast }$到$V^{\ast \ast }$的一个同构映射，它把$V^{\ast }$中的向量$f=\sum _{i=1}^n{x}_i{f}_i$映射为$V^{\ast }$中的向量${\alpha }^{\ast \ast }=\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i^{\ast \ast }$

于是有：$\tau \sigma$是$V$到$V^{\ast \ast }$的一个同构映射，它把$V$中的向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$映射为$V^{\ast }$中的向量${\alpha }^{\ast \ast }=\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i^{\ast \ast }$

定理：两个同构映射的乘积仍然是同构映射

证明：

$\forall \alpha ，\beta \in V,k\in F$，有：

​  $(\tau \sigma )(\alpha +\beta )=\tau (\sigma (\alpha +\beta ))=\tau (\sigma (\alpha )+\sigma (\beta ))=\tau \sigma (\alpha )+\tau \sigma (\beta )$

  $(\tau \sigma )(k\alpha )=\tau (\sigma (k\alpha ))=\tau (k\sigma (\alpha ))=k\tau \sigma (\alpha )$

因此$\tau \sigma$是同构映射

任给$f\in V^{\ast }$，有：

  ${\alpha }^{\ast \ast }(f)=(\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i^{\ast \ast })(f)$        （${\alpha }^{\ast \ast }$由基${\alpha }_1^{\ast \ast },{\alpha }_2^{\ast \ast },\cdots ,{\alpha }_n^{\ast \ast }$线性表出）

      $=\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i^{\ast \ast }(f)$        （线性映射的和与纯量乘积的定义）

      $=\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i^{\ast \ast }(\sum _{j=1}^{n}f({\alpha }_j)f_j)$   （线性函数在对偶基下的坐标）

      $=\sum _{i=1}^n{x}_i(\sum _{j=1}^{n}f({\alpha }_j){\alpha }_i^{\ast \ast }(f_j))$  （线性映射的加法和纯量乘法）

      $=\sum _{i=1}^n{x}_{i}f({\alpha }_i)$         （由${\alpha }_i^{\ast \ast }(f_j)={\delta }_{ij}$得到）

      $=f(\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i)$         （线性映射的加法和纯量乘法）

      $=f(\alpha )$            （$\alpha$由基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性表出）

由${\alpha }^{\ast \ast }(f)=f(\alpha )$，可以得出结论：

  记${\alpha }^{\ast \ast }$是$\alpha$在$V$到$V^{\ast \ast }$的同构映射下的像，$f$是$V^{\ast }$中的任一元素，则${\alpha }^{\ast \ast }$在$f$处的函数值${\alpha }^{\ast \ast }(f)$仅仅由$\alpha$和$f$本身决定，与所取的基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$没有关系

这种不依赖于基的选择的同构映射称为自然同构

于是可以把$\alpha$与${\alpha }^{\ast \ast }$等同，从而可以把$V$与$V^{\ast \ast }$等同

于是$V$可看成是$V^{\ast }$的对偶空间

因此$V$与$V^{\ast }$互为对偶空间