摘自知乎两个比较能够理解的回答
一、
作者：Hua Xiao
链接：https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/132756971
来源：知乎
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“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”。
仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它，我们先说说“集合”：所有的“线性空间”都是“集合”，然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子，足球，鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——
什么样的集合，才可以被称作是线性空间呢？
答：如果某集合对加法和数乘封闭，也就是说：
（1） 任意一个元素 加上 任意一个元素 结果仍然在集合里；
（2） 任意一个数 乘以 任意一个元素 结果仍然在集合里。
那这个集合就是一个线性空间。
比如，{0}这个集合只有一个元素，而且——
（1） 0 加上0，结果是0，在集合内；
（2） 任何数 乘以 0，结果是0，也在集合内。
所以{0}是一个线性空间。
而{0,1,2}这个集合，就很可能不是一个线性空间。因为1加上2，结果是3, 而3却不在集合内。
如果你能够在{0,1,2}这个集合上，自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下，还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件，那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然，你也看出来了，这并不容易想到怎么做。事实上，我们习以为常的线性空间是很特殊的集合。
我们已经搭好了“线性空间”的概念，它就像游戏的场景，有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。
我们继续用{0}这个最简单的线性空间，
然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素（也就是0啦）乘以1：
0 0
然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2：
0 0
然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3：
0 0
……
我们很快就发现，{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个！如果我们这无穷多个映射放在一个集合里：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }，那么，这个由“线性映射”构成的集合，是否也是一个线性空间？
答案竟然是yes！而且它就是{0}的对偶空间！
等一下——
如果这个集合是个线性空间，那么根据上文，它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加，比如1+2，很好理解，线性映射也能相加吗？怎么加，结果是什么？
注意，上文中提到：
……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……
也就是说，我们可以在线性映射的集合上定义“线性映射的加法”！只要能满足那些要求就可以了！
下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”：
线性映射二：x2x ， 线性映射三：x
线性映射二 加上 线性映射三等于 一个新的线性映射：x
不难发现，这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义，我们乘胜追击，再用个例子来描述一个数和线性映射相乘，
线性映射一：x
3 乘以 线性映射一等于 一个新的线性映射：x
然后就可以发现，{0}上的所有线性映射的集合：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }
对加法和数乘封闭，也就是说，它也是一个线性空间，于是我们把它叫做{0}的对偶空间。
再回头看看本回答的第一句话：“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”，这句话里其实还隐含了一个信息：我们在对偶空间里，定义了线性映射的加法以及数乘。
最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。
二、
怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/235672121