一、注意力评分函数
f ( x ) = ∑ i = 1 n α ( x , x i ) y i = ∑ i = 1 n exp ( − 1 2 ( x − x i ) 2 ) ∑ j = 1 n exp ( − 1 2 ( x − x j ) 2 ) y i = ∑ i = 1 n s o f t m a x ( − 1 2 ( x − x i ) 2 ) y i . (1-1) \begin{aligned} f(x) &=\sum_{i=1}^n \alpha(x, x_i) y_i\\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}(x - x_i)^2\right)}{\sum_{j=1}^n \exp\left(-\frac{1}{2}(x - x_j)^2\right)} y_i \\&= \sum_{i=1}^n \mathrm{softmax}\left(-\frac{1}{2}(x - x_i)^2\right) y_i. \end{aligned} \tag{1-1} f(x)=i=1∑nα(x,xi)yi=i=1∑n∑j=1nexp(−21(x−xj)2)exp(−21(x−xi)2)yi=i=1∑nsoftmax(−21(x−xi)2)yi.(1-1)
在nadaraya-waston中，我们使用高斯核来对查询和键之间的关系建模。可以将其中的的高斯核的指数部分视为 注意力评分函数（attention scoring function），简称 评分函数（scoring function），然后把这个函数的输出结果输入到 softmax 函数中进行运算。通过上述步骤，我们将得到与键配对的值的概率分布（即注意力权重）。最后，注意力池化的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。在这里 α ( x , x i ) \alpha(x,x_i) α(x,xi)表示的是注意力权重，在softmax里面的部分表示的是注意力分数。
二、注意力分数高维拓展
从宏观来看，可以使用上述算法来实现query-key-value中的注意力机制框架。下图说明了如何将注意力池化的输出计算成为值的加权和，其中 a a a 表示注意力评分函数。由于注意力权重是概率分布，因此加权和其本质上是加权平均值。
用数学语言描述，假设有一个查询 q ∈ R q \mathbf{q} \in \mathbb{R}^q q∈Rq 和 m m m 个“键－值”对 ( k 1 , v 1 ) , … , ( k m , v m ) (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m) (k1,v1),…,(km,vm)，其中 k i ∈ R k \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^k ki∈Rk， v i ∈ R v \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v vi∈Rv。注意力池化函数 f f f 就被表示成值的加权和：
f ( q , ( k 1 , v 1 ) , … , ( k m , v m ) ) = ∑ i = 1 m α ( q , k i ) v i ∈ R v , f(\mathbf{q}, (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m)) = \sum_{i=1}^m \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v, f(q,(k1,v1),…,(km,vm))=i=1∑mα(q,ki)vi∈Rv,
其中查询 q \mathbf{q} q 和键 k i \mathbf{k}_i ki 的注意力权重（标量）是通过注意力评分函数 a a a 将两个向量映射成标量，再经过 softmax 运算得到的：
α ( q , k i ) = s o f t m a x ( a ( q , k i ) ) = exp ( a ( q , k i ) ) ∑ j = 1 m exp ( a ( q , k j ) ) ∈ R . \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) = \mathrm{softmax}(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i)) = \frac{\exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i))}{\sum_{j=1}^m \exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_j))} \in \mathbb{R}. α(q,ki)=softmax(a(q,ki))=∑j=1mexp(a(q,kj))exp(a(q,ki))∈R.
正如我们所看到的，选择不同的注意力评分函数 a a a 会导致不同的注意力池化操作。在本节中，我们将介绍两个流行的评分函数，稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。
1. 可加性注意力
一般来说，当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力作为评分函数。给定查询 q ∈ R q \mathbf{q} \in \mathbb{R}^q q∈Rq 和键 k ∈ R k \mathbf{k} \in \mathbb{R}^k k∈Rk，可加性注意力（additive attention） 的评分函数为
a ( q , k ) = w v ⊤ tanh ( W q q + W k k ) ∈ R , a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf w_v^\top \text{tanh}(\mathbf W_q\mathbf q + \mathbf W_k \mathbf k) \in \mathbb{R}, a(q,k)=wv⊤tanh(Wqq+Wkk)∈R,
其中可学习的参数 W q ∈ R h × q \mathbf W_q\in\mathbb R^{h\times q} Wq∈Rh×q、 W k ∈ R h × k \mathbf W_k\in\mathbb R^{h\times k} Wk∈Rh×k 和 w v ∈ R h \mathbf w_v\in\mathbb R^{h} wv∈Rh。可以看作是，将查询和键连接起来后(长度变为k+q)输入到一个多层感知机（MLP）中，感知机包含一个隐藏层，其隐藏单位的数量是一个超参数 h h h。通过使用 tanh \tanh tanh 作为激活函数，并且取消偏置项。（注意取消了偏置项）
在设计可加性注意力层之前，我们先准备一些需要用到的函数
import math
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
# 掩码Softmax操作
def masked_softmax(X, valid_lens):
"""通过在最后一个轴上遮盖元素来执行 softmax 操作"""
# `X`: 3D tensor, `valid_lens`: 1D or 2D tensor
if valid_lens is None:
return nn.functional.softmax(X, dim=-1)散
else:
shape = X.shape
if valid_lens.dim() == 1:
valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])
else:
valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
# 在最后的轴上，被遮盖的元素使用一个非常大的负值替换，从而其 softmax (指数)输出为 0
X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,
value=-1e6)
return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)
# 考虑由两个 2 × 4 矩阵表示的样本组成的小批量数据集，其中这两个样本的有效长度分别为 2 和 3。
# 经过掩码 softmax 操作，超出有效长度的值都被遮盖为零。
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))
tensor([[[0.3966, 0.6034, 0.0000, 0.0000],
[0.4718, 0.5282, 0.0000, 0.0000]],
[[0.4841, 0.2792, 0.2368, 0.0000],
[0.4889, 0.2826, 0.2285, 0.0000]]])
# 同样，我们也可以使用二维张量为每个矩阵示例中的每一行指定有效长度。
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([[1, 3], [2, 4]]))
tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
[0.4509, 0.2201, 0.3290, 0.0000]],
[[0.5237, 0.4763, 0.0000, 0.0000],
[0.1962, 0.4115, 0.2280, 0.1643]]])
然后开始生成可加性注意力层：
class AdditiveAttention(nn.Module):
"""可加性注意力"""
def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):
super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)
self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)
self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)
self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)
self.dropout = nn.Dropout(dropout)
def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)
# 在维度扩展后，
# `queries` 的形状：(`batch_size`, 查询的个数, 1, `num_hidden`)
# `key` 的形状：(`batch_size`, 1, “键－值”对的个数, `num_hiddens`)
# 使用广播方式进行求和=>feature的形状（batch_size，query个数，key-alue对个数，num_hiddens）
features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1) # 将特征增加一个维度
features = torch.tanh(features)
# `self.w_v` 仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度。
# `scores` 的形状：(`batch_size`, 查询的个数, “键-值”对的个数)
scores = self.w_v(features).squeeze(-1)
self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
# `values` 的形状：(`batch_size`, “键－值”对的个数, 值的维度)
return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)
让我们用一个小例子来演示上面的 AdditiveAttention 类，其中查询、键和值的形状为（批量大小、步数或标记序列长度、特征大小），实际输出为 ( 2 , 1 , 20 ) (2,1,20) (2,1,20)、 ( 2 , 10 , 2 ) (2,10,2) (2,10,2) 和 ( 2 , 10 , 4 ) (2,10,4) (2,10,4)。注意力池化输出的形状为（批量大小、查询的步数、值的特征大小）。
queries, keys = torch.normal(0, 1, (2, 1, 20)), torch.ones((2, 10, 2))
# `values` 的小批量数据集中，两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])
attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,
dropout=0.1)
attention.eval()
print("queries:",queries.shape)
print("keys:",keys.shape)
print("values:",values.shape)
attention(queries, keys, values, valid_lens)
queries: torch.Size([2, 1, 20])
keys: torch.Size([2, 10, 2])
values: torch.Size([2, 10, 4])
tensor([[[ 2.0000, 3.0000, 4.0000, 5.0000]],
[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)
2. 缩放的“点－积”注意力
使用“点－积”可以得到计算效率更高的评分函数。但是“点－积”操作要求查询和键具有相同的矢量长度 d d d。假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量，并且都满足均值为 0 0 0 和方差为 1 1 1。那么两个向量的“点－积”的均值为 0 0 0，方差为 d d d。为确保无论矢量长度如何，“点－积”的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是 1 1 1，则 缩放的“点－积”注意力（scaled dot-product attention） 评分函数
a ( q , k ) = q ⊤ k / d a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf{q}^\top \mathbf{k} /\sqrt{d} a(q,k)=q⊤k/d
将“点－积”除以 d \sqrt{d} d。在实践中，我们通常从小批量的角度来考虑提高效率，例如基于 n n n 个查询和 m m m 个“键－值”对计算注意力，其中查询和键的长度为 d d d，值的长度为 v v v。查询 Q ∈ R n × d \mathbf Q\in\mathbb R^{n\times d} Q∈Rn×d、键 K ∈ R m × d \mathbf K\in\mathbb R^{m\times d} K∈Rm×d 和值 V ∈ R m × v \mathbf V\in\mathbb R^{m\times v} V∈Rm×v 的缩放的“点－积”注意力是
s o f t m a x ( Q K ⊤ d ) V ∈ R n × v . \mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf Q \mathbf K^\top }{\sqrt{d}}\right) \mathbf V \in \mathbb{R}^{n\times v}. softmax(dQK⊤)V∈Rn×v.
在下面的缩放的“点－积”注意力的实现中，我们使用了 dropout 进行模型正则化。
三、总结
- 注意力分数就是query和key的相似度，注意力权重是分数的softmax结果
- 两种常见的分数计算：
- 将query和key合并起来进入一个单输出单隐藏层的MLP
- 直接将query和key做内积
- 可以将注意力池化的输出计算作为值的加权平均，选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力池化操作。
- 当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时，使用缩放的“点－积”注意力评分函数的计算效率更高。