每日一题·夏季 [AcWing 3583] 整数分组

题目

AcWing 3583 整数分组
给定 n 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。
现在，请你从中挑选一些数，并将选出的数进行分组。

要求：

1. 选出的数最多划分为 k 组（至少 1 组）。
2. 同一组内，任意两数之差的绝对值不超过 5。
3. 所选出的数尽可能多。

请问，最多可以选出多少个数进行分组？
 

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 k。
第二行包含 n 个整数$a_1,a_2,\dots ,a_n$。

输出格式

输出一个整数，表示可以选出的最大整数数量。
 

数据范围

$1\le k\le n\le 5000$,
$1\le a_i\le 10^9$
 

输入样例1：

5 2
1 2 15 15 15

输出样例1：

5

输入样例2：

6 1
36 4 1 25 9 16

输出样例2：

2

输入样例3：

4 4
1 10 100 1000

输出样例3：

4

思路

首先对于全部数可以进行排序。
首先我们看看最优解具有什么性质
能够用dp需要是一个序列，而这里是一个集合，看看如何在这里把它变成一个序列

可以发现最优解可以具有如下的性质：

1. 对于两个数，如果满足条件（差小于5），那么中间的数一定都可以加入到这个组里（即可选也可以不选），因为每一组是否满足条件只是看最大值与最小值是否满足要求，与中间的值没有关系，那么为了最优解肯定都是都加入到解里面。
2. 最优解中会不会有区间重合？最优解中可以有区间重合，但是比如两个组有区间重合，可以分成两个没有区间重合的组，仍满足最优解，所以最优解可以没有区间重合。
3. 对于最后一段，最优解中，这一组可以尽可能的长。（这个性质主要是为了用于状态转移）
   
   即蓝色的是本来的最优解，我们调整这选的两个组，把前面的一组中的满足最后面一组的部分分一部分去，这样仍然满足最优解，且最后一组尽可能长了。选的元素个数也没有变。

所以最优解我们可以在这个集合的满足以上性质的子集里面去寻找，最优解在这个子集中一定存在，而满足以上性质的情况下就可以用dp来求解。
这样子选就是一段一段的选，那么就是一个个序列了，所以就可以用dp来做了。

我们可以用$f(i,j)$来进行状态表示，它表示的集合是从 $1-i$ 中选取 $j$ 组的所有方案的集合，所存的数表示的属性是这个集合中的方案中的最大的元素个数。
对于状态计算，我们对于集合进行划分。
分为在 $1-i$ 中选取第 $i$ 个和不选取 $i$ 个两个子集。
对于不选取第 $i$ 个的情况，那么这个集合所取的属性（即最大数）就是 $f[i-1][j]$
对于选取第 $i$ 个的情况，根据上面的性质，那么最后一个区间可以尽可能的大。
肯定都得选最后一组，那么最大值就是看前面。
所以最大值就是$f[k-1][j-1]+(i-k+1)$
这里求得 $k$ 可以用双指针扫描。
然后取两种情况的最大值即可。

然后最终答案是$f[n][m]$的值，这里分成 $m$ 组是否是最优的呢？这里$m<n$，可以是一种方案，最优解可以是分成 $m$ 组，也可以不是 $m$ 组，对于不是 $m$ 组的最优解，实际上可以化成 $m$ 组的情况，把组分开成多组就可以了。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5010;

int n, m;
int w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
    sort(w + 1, w + n + 1);

    for (int i = 1, k = 1; i <= n; i ++ )
    {
    
    
        while (w[i] - w[k] > 5) k ++ ;
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[k - 1][j - 1] + (i - k + 1));
    }

    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}