高等数学 笔记(1-2章)

一、函数的概念

自己理解的定义：函数是由一个自变量(x)和一个因变量(y)相互之间的一个统称，这个自变量与因变量之间一一对应，一个自变量可以用一个对应的法则去得到因变量的值。常写成 y=f(x) f一般代表是一个对应关系，或者是一个表达式。

官方定义：函数的概念是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

比如说一个正方形的边长与面积之间的关系：x = 边长 s = 面积

S=x²

面积会随着x 边长的变大而变大。

引申定义域的问题：在这里 x 代表的是边长众所周知在现实中正方形的边长不可能小于零，所以这里的 x > 0 所以x的取值范围就是 (0, +$\infty$ ]

数学公式支持只不过要在前面和后面加上美元符号比如,$\sqrt[3]{9}$

1.常见考点：

① 定义域：

指的是x的取值范围,

eg: $设函数f(2+2x)的定义域为（-1,2],则函数f(-x-2)的定义域为$__

详解：

设 $(2+2x)=t$ 题目的前一句说的（设函数f(2+2x)的定义域为（-1, 2]）的含义就是 $f(t)$ 中 t 的定义域，而后面说的$f(-x-2)的定义域$指的是 (-x-2) 这个整体的定义域。

$设(2+2x)=t,(-x-2)=\square$

则题目可以改写成 设函数$f(t)的定义域为（-1,2]，则函数的f(\square )的定义域为$___

思路： 所以我们先要求出 $f(x)的定义域$ 然后在求$f(\square )的定义域$

② 对应法则：

指对x的加工/处理方式，如 f 、g、 h… f(x) g(x) h(x)

2. 函数定义域

自然对数 e 的含义

自然对数e最早起源于复利，假如你有一块钱，放银行，银行给你100%的利率也就是说存一年后变成两块钱。

那么现在问题来了，假如我半年取一次，取完再放入银行存半年，那么我就可以得到（1+0.5）²也就是2.25，比两块钱还多，假如我分1/4年存取一次呢，那么就是（1+0.25）的四次方，约为2.44，又更多了。假如我无限分割下去，我能得到无限的本息吗？

答案是不能，（1+1/∞）的无穷次方等于e，约为2.71828，这就是自然对数。

考点：

一下是常见的基本考点, 其他的考点都是从这里衍生出的【一坨】也就是说整体思想。

1. ※ y=$\frac{1}{x}$ x $\ne$ 0
2. ※ y=$\sqrt[2n]{x}$ x $\ge$ 0
3. ※ y=$\sqrt[2n+1]{x}$ x $\in$ ($-\infty$, $+\infty$)
4. ※ y=${\log }_{a}x$ x>0 y=$\ln x$ $x$ $>$ 0
5. y=$\tan x$ $x$ $\ne$ $k$$\pi$ $+$$\frac{\pi }{2}$
6. y=$cotx$ $x\ne k\pi$
7. y=$arctanx$, y=$arccotx$ $x\in R$ , $x\in (-\infty ,+\infty )$
8. ※ y=$arcsinx$, $y=arccosx$ $x\in [-1,1]$

详解：$arctan$

$arctan1=\frac{\pi }{4}$ , $tan\frac{\pi }{4}=1$

① 知识点回顾

Ⅰ. ※求根公式

所谓求根公式指的是当这个表达式的值为0的时候 $x$ 的取值

$y=ax$² $+bx+c=0$

$==>x_{根}=$ $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ⅱ. ※十字相乘

$x^2+(a+b)x+ab=0$

$==>(x+a)(x+b)$

x $\ast$ $+$a

x $\ast$ $+$b

$(x\ast (+a))(x\ast (+b))$

Ⅲ. 完全平方

$(a\pm b{)}^2$

$==>a^2\pm 2ab+b^2$

Ⅳ. log ln

1. $ln{a}^b=blna$
2. $lne=1,ln1=0$

② 求抽象函数的定义域

不知道函数的具体表达式, 如 $f(x),g(x),h(x)...$

题型：

eg： 已知$f(\square )$的定义域，求$f(△)$ 的范围（函数的定义域）？

解法：两函数的对应法则一样，则各自括号内范围应该相同。

若 $a\le \square \le b$ 则可得 $a\le △\le b$

（2016-3） $f(2-4x),x\in [-1,3)$ ，则 $f(x)$ 的定义域

③ 求函数的对应法则

根据函数的对应法则，求函数的表达式

1. 直接带入法

   1. 已知$f(x),求f[f(x)]$/ 已知$f(x),g(x),求f[g(x)]$

      eg：$f(x)=e^x,g(x)=sinx,求f[g(x)]$

   2. 已知$f(\square )=△,求f(x).$

      eg: $设f(\frac{1}{x}+1)=\frac{x}{2x-1},求f(x)$

2. 配凑法：将 $△$ 凑成 $\square$ 的形式，一般在三角函数用的比较多。

   1. $f(\square )=△==>{\square }^2+1$ ====> $f(\square )={\square }^2+1$
   2. $f(co{s}^{2}x)=ta{n}^{2}x,求f(x)及f(2x)$

$(1-x{)}^2>0$

3. 反函数：(了解)

① 定义

1. 定义: 以y为自变量，x为因变量的函数 记为：$y=f^{-}1(x)$

2. 掌握：求解反函数的过程。

   由 $y=f(x)----解出----->x=f^{-1}(y)----互换x,y----->y=f^{-1}(x)$

② eg：

$求y=x-2的反函数$

x=y+2
(反)y=x+2

4. 基本初等函数

1. 常数项函数 如 $y=c,y=1\dots$

2. 幂函数 如 $y=x^a,y=x^2,y=x^3,y=\sqrt[n]{x}...$

   常见公式：

   1. $x^a\ast x^b=x^{(a+b)}$
   2. $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$
   3. $\sqrt[b]{a}=x^{\frac{a}{b}}$
   4. $x^{-a}=\frac{1}{x^a}$

3. 指数函数 如$y=a^x,a>0;y=e^x$

4. 对数函数 如 $y=lo{g}_{a}x;x=a^y;lnx=lo{g}_{e}x;y=lnx<==>x=e^y$

   1. 四则运算：这些运算都是由基本的运算推导出来的。基本运算$y=lo{g}_{a}x==>x=a^y;(y=lo{g}_{e}x=lnx)==>x=e^y$
   2. $lna+lnb=ln(a\ast b)$ $lna-lnb=ln\frac{a}{b}$
   3. $ln{a}^b=blna$ $u^v=e^{vlnu}=e^{ln{u}^v}$

5. 三角函数 主要有 $sinx,cosx,srctanx,tanx$ 他们的取值范围，画图理解非常快，建议百度。

   1. 常用三角函数的关系，勾股定理：设角一个直角三角形中，角x的对边为b，斜边为c；$a^2+b^2=c^2;sinx=\frac{b}{c};cosx=\frac{a}{c};tanx=\frac{b}{a};tanx=\frac{sinx}{cosx};cotx=\frac{a}{b};secx=\frac{1}{sinx};cscx=\frac{1}{cosx}$

6. 常用的三角函数值

   1. $sin(0)=0;sin(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2};sin(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2};sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2};sin(\frac{\pi }{2})=1$
   2. $cos(0)=1;cos(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2};cos(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2};cos(\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2};cos(\frac{\pi }{2})=0$
   3. $tanx和cotx都可以用sinx和cosx来表示，所以不在赘述$

7. 常用的反三角函数值, 本质就是反过来取度数 $antan1=\frac{\pi }{4};ancos0=\frac{\pi }{2};ansin1=\frac{\pi }{2};antan0=0$

8. 常用的三角函数

   1. 平方和： $si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1;1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x;1+co{t}^{2}x=cs{c}^{2}x$
   2. 倍角公式： $sin2x=2sinxcosx;co{s}^{2}x=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x=2co{s}^{2}x-1=1-si{n}^{2}x$
   3. 降次：$co{s}^{2}x=\frac{1+co{s}^{2}x}{2};si{n}^{2}x=\frac{1-co{s}^{2}x}{2}$
   4. ※ $\frac{1}{1+cosx}=>\frac{(1+cosx)}{(1+cosx)(1-cosx)}=\frac{1-cosx}{1-co{s}^{2}x}=\frac{1-cosx}{si{n}^2}$
   5. $secx=\frac{1}{cosx};se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^{2}x}$

9. 平方差；

   1. 平方差 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
   2. 完全平方公式 $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
   3. 立方差和 $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

10. 三角函数的周期公式

    1. $y=Asin/cos(\omega x+\phi )+h;则周期为T=\frac{2\pi }{\omega }$
    2. $y=Acot/tan(\omega x+\phi )+h;则周期为T=\frac{\pi }{\omega }$

5. 复合函数

① 定义

1. 称 $y=f[g(x)]$ 这种形式的函数为复合函数（函数内套函数）

② 考点

1）、复合函数的分解

分解原则：

从外向里面，层层递进，分解到含x的基本初等函数stop！

注 ：每层用 $u.v.w...$ 代替

eg: $y=sin(2x)$

解 $ ①:y=sinx, ②:u=2x $

eg: $y=si{n}^{2}x,y=sin{x}^2$

解：$①:y=u^2,②:u=sinx,1:y=sinu,2:u=x^2$

6. 函数的性质

(1)、奇偶性(※※)

先置条件：

$f(x)的定义域，关于原点(0,0)对称$

奇函数：

1. $奇函数f(x)的图像关于原点对称$
2. 此时 $f(-x)=-f(x)$

偶函数：

1. $偶函数f(x)的图像关于y轴对称 $
2. 此时 $f(-x)=f(x)$

理解：

可以画图来理解，百度一下最简单。

1. 奇/偶函数四则运算性质

奇函数 $\pm$ 奇函数 = 奇函数

偶函数 $\pm$ 偶函数 = 偶函数

※ 奇函数 $\pm$ 偶函数 = 非奇非偶

※ 奇 $\ast /÷$ 奇 = 偶

※ 奇 $\ast /÷$ 偶=奇

偶 $\ast /÷$ 偶=偶

2. 复合函数的奇偶性

奇(奇)=奇，奇(偶)=偶，偶(奇)=偶

1. 全奇则奇，遇偶则偶
2. $f(x)+f(-x)==>偶；f(x)-f(-x)==>奇$

eg： $设f(x)=(\frac{e^x+e^{-x}}{2})sin{x}^2,求他的奇偶性。$

eg: $设f(x)在x\in R上面为任意函数，则下列函数为偶函数的是（）$

A. $f(x)-f(-x)$ B. $[f(x){]}^2$ C.$|f(x)|$ D. $f(|x|)$

(2)、有界性

1. 定义：

若 $f(x)$ 函数值是固定在某个范围内的，称 $f(x)$ 有界

$m\le f(x)\le M$ 称M为上界，m为界。

很多函数都是有界的，譬如：$sinx,antanx,cosx...$

2. 考点：

$0\ast 有界=0$

当遇到有$sinx,cosx,antanx;$ 时就需要考虑有界性。

(3)、周期性

定义：

经过一段时间，重复出现

公式：

1. $y=Asin/cos(\omega x+\phi )+h;则周期为T=\frac{2\pi }{\omega }$
2. $y=Acot/tan(\omega x+\phi )+h;则周期为T=\frac{\pi }{\omega }$

(4)、单调性

定义：

在某个区间内 $f(x)..x_1<x_2;f(x_1)<f(x_2)=>f(x)单调递增$

$同理：x_1>x_2,f(x_1)>f(x_2)=>f(x)单调递减$

7. 极限

**引言：**理论上来说极限是分为函数的极限，和数列的极限的。因为这里只记录函数的极限，所以数列的极限就不在记录笔记部分。

函数的极限讨论的是 $f(x)$ 在趋近某点 $x_0$ 处的极限值，与 f(x) 在该点时无定义(没有关系) $f(x_0)$ 无关

极限存在的条件：如果极限存在，那么一定是左右极限存在且相等

定义：

极限：描述某个东西，在一定条件下的趋势。$\to f(x)$

eg：$馅\to 0，包子\to 馒头$

(1) 函数极限※

解析：

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,A为确定的数$ ※ $x\to 2,x\to 0，x\to 3......$

0. 易错考点

$0\ast 有界=0$

考点： 遇到 $sin\infty ,cos\infty ,arctan\infty ,优先考虑0\ast 有界=0$

eg：$\underset{x\to 0}{\lim }x\ast sin\frac{1}{x}=0;x\to 0\ast sin\infty \to 有界=0$

1. $\underset{x\to \infty }{\lim }x\ast sin\frac{1}{x}=1$
2. $(2012-4)\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{2sinx}{x}+x\ast sin\frac{1}{x})=?$

1. 函数极限的计算 (四则运算)

前提条件： 函数的极限要能参与运算，必须要极限是存在的。

1. $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim \ast f(x)\pm \lim g(x)$
2. $\lim f(x)\ast g(x)=\lim \ast f(x)\ast \lim g(x)$
3. $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$

计算小知识：

1. 习惯： a、先定型 $\to 将x\to x_0中x_0带入f(x)中$ b、定法：$根据类型定方法$
   1. 如：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+2cosx}{3x+1}=3$
2. 注意：在定型的时候，可以将 非零的常数 部分先计算 (非零因子先带入)
3. 理解： $\frac{c}{\infty }=0,\frac{c}{0}=\infty$

2. 极限的类型1-7

函数的极限存在一定是某某自变量趋近于某个点，而不可能是趋近于无穷大。

后面很多类型都是先转换成前面两种类型，之后再进行计算的。

知识点(判断类型)：

1. $\frac{\infty }{\infty }$
   1. 抓大头
   2. 洛必达
2. $\frac{0}{0}$
   1. 等价
   2. 洛必达
3. $0\ast \infty \to 下方x\ast lnx\to 0$
   1. $\frac{\infty }{\infty }$
   2. $\frac{0}{0}$
4. $\infty -\infty$
   1. 分式=>通分
   2. 根式=> 平方差 有理化
5. u^v 型
   1. $1^{\infty };u^v=1^{\infty }=e^{\lim (u-1)\ast v}$
   2. 不是 $1^{\infty }$ 利用 $u^v=e^{v\ast lnu}$
      1. $0^0$
      2. ${\infty }^0$

计算注意：

1. 非零因子先求
2. 等价替换 条件 $\square \to 0$ ；乘除
3. $0\ast 有界=0$

洛必达法则

不到万不得已，不要轻易使用。

使用条件：目前仅限于 $\frac{\infty }{\infty }$ 型和 $\frac{0}{0}$

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=(\frac{\infty }{\infty }或\frac{0}{0})=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=(\frac{\infty }{\infty }或\frac{0}{0})=\lim \frac{f^{\prime \prime }(x)}{g^{\prime \prime }(x)}......$

1. 分子分母各自同时求导
2. 洛必达法则一般会配合等价使用 万事不对洛必达

eg：$(2014-3)\underset{n\to 1}{\lim }\frac{x^5-1}{x^4-1}=\frac{5}{4}$

① $\frac{\infty }{\infty }$ 类型极限

定义： $分子\to +\infty ;分母\to +\infty$

解法： 抓大头

题型：

1. 幂函数抓大头
   1. 抓次方最大项 储备： $x\to +\infty ;1\le x\le x^2\le x^3$ 次方越高，值越大
   2. eg_1 ： $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2}}$
   3. 解法① $原式=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2}+\sqrt{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$
   4. eg_2: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3+x^2-1}{4x^3-2x^2+x-4}$
   5. 解法② 分子分母同除式子中的最高次项，（x的最高次或 n 的最高次）解：$\frac{c}{\infty }\to 0;原式=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^3}}=\frac{1}{2}$
2. 指数函数
   1. 指数函数抓大头 如 $a^x;3^x;5^x抓底数最大的3^x<5^x$
   2. eg: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8^x}{8^x-5^x}=1$
3. 通过抓大头求参数 , 利用 $\frac{\infty }{\infty }型极限的存在，反求参数a,b$
   1. 看分母的最高次，再看分子最高次
   2. 结论： 分母最高次=分子最高次，，值为非零常数。分母最高次>分子最高次值为0
   3. 极限存在 $\frac{\infty }{\infty }$ 分母最高次 $\ge$ 分子最高次
   4. eg : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(a+1)x^3-b{x}^2+x-1}{2x^2+3}=4,则a=?,b=?$
   5. 解： $a+1=0,a=-1;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-b{x}^2+x-1}{2x^2+3}=-\frac{b}{2}=4==>b=-8$

② $\frac{0}{0}$ 类型极限

定义： 分子 $\to 0$ , $分母\to 0$

1. 逆用结论： 如果 分子 $\to 0$ , $则分母\to 0$ 如果 分母 $\to 0$ , $分子\to 0$

解法： 利用等价无穷小量，求解。

等价来源： $\sim$ 等价于符号。

常用等价公式： 当 $x\to 0时，可以推导出如下$

1. $sinx\sim x,tanx\sim x,e^x-1\sim x,arcsinx\sim x,arctanx\sim x,ln(1+x)\sim x$
2. $1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2$
3. $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}=(1+x{)}^{\frac{1}{n}}-1\sim \frac{x}{n}是由后面这个推导出来的(1+ax{)}^b-1\sim abx$
4. $x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3;tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3;tanx-sinx\sim \frac{1}{2}{x}^3$
5. $a^x-1\sim xlna;ln(1+x)-x\sim -\frac{1}{2}{x}^2$
6. 注意： 在专升本的考试中，
7. 使用条件： 在乘除关系中使用，加减运算慎用。趋于0使用
8. 以上所有的 $x都可以替换成\square$

eg： $\frac{0}{0}$ 类型极限的计算

1. 已知 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3sinmx}{2x}=\frac{3}{2}$ 求 m = ___
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xln(1+x)}{1-cosx}$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{sin2x-1}-1}{x}$ $x\to sin2x\sim 2x$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a-2e^x-x}{x^2-x},存在，则a=？$

③ $0\ast \infty$ 极限计算

解法：下放，洛必达

$0\ast \infty ==>$ 1. 对零取倒数，下方做分母，或 对 $\infty 取倒数；\frac{0\ast \infty }{0}=\frac{\infty }{\frac{1}{0}}=\frac{\infty }{\infty }\to 抓，洛必达；0\ast \infty =\frac{0}{\frac{1}{\infty }}=\frac{0}{0}等价替换，洛必达$

下放原则：

1. 一般来讲，下放简单易求导的函数
2. 遇到有三角函数$tanx,cotx$ 先化简成 $tanx=\frac{sinx}{cosx},cotx=\frac{cosx}{sinx};secx=\frac{1}{cosx}$

eg ：

1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ast lnx=0$
2. $(2019)\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)tan\frac{\pi }{2}x=-\frac{2}{\pi }$

④ $\infty -\infty$ 极限计算

题型： 分式、根式。

解法： 分式 => 通分， 根式=>有理化 利用$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$……. 去根号

eg：

1. $\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{x}{x^3}-\frac{sinx}{x^3})=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-sinx}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^3}{x^3}=\frac{1}{6}$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+4x+1}-1)=2$

⑤ $u^v$ 极限计算

$u^v$ 一共分为两个类型。

一、$1^{\infty }$

1. 第二重要极限 $\underset{\square \to 0}{\lim }(1+\square {)}^{\frac{1}{\square }}=e$

2. 解法：

   1. $u^v==1^{\infty }==e^{\lim (u-1)\ast v}$ (99%)
   2. 次方很多的 $e^{ln\square }=\square <==>u^v=e^{vlnu}$ 幂指函数对数化

3. eg：

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }(cosx{)}^{\frac{1}{x^2}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }(cosx-1)\ast \frac{1}{x^2}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(cosx-1)}{x^2}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}}$ 提示：$\frac{0}{0}$ 等价替换
   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{3+2x}{2+2x}{)}^x=e^{\frac{1}{2}}$
   3. $设\underset{x\to 0}{\lim }(1+2x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(sinkx)}{x}则k=e^2$ 左边=e² ,右边=k

二、 非 $1^{\infty }类型，(0^0,{\infty }^0)$

解法：$u^v\ne 1^{\infty };u^v=e^{vlnu}$ 转化成符合型极限

eg：

1. $求\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{sinx}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }sinx\ast lnx}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ast lnx}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{lnx}{\frac{1}{x}}}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x}=e^0=1$

3. 左右极限 (了解)

有哪些极限的计算的时候需要考虑左右极限。

极限存在 <==> 左、右极限是同时存在且相等。否则极限不存在 。

左极限：值的是从 数轴上面的左侧去靠近 $x_0$ $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$

右极限：值的是从 数轴上面的右侧去靠近 $x_0$ $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$

函数图像要熟记：

1. 分段函数：以分段点为界，左边一个极限，右边一个极限。遇到分段函数考虑左右极限。
2. $y=\frac{1}{x};x\to 0^{+},\frac{1}{x}\to +\infty$
3. 指数函数 $y=e^x$
4. $arctanx$

需要考虑左右极限的相关函数类型：

1. 分段函数
2. 含绝对值的函数
3. 遇到 $e^{\infty },\frac{c}{0},arctan\infty ...$

eg:

1. $设f(x),x<0=>f(x)=x+1,x=0=>f(x)=0,x>0=>f(x)=x-1;求\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$
   1. $解：\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x+1)=1;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x-1)=-1;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim };故\underset{x\to 0}{\lim }不存在$
2. $已知f(x),x\le 0=>f(x)=1+3x-e^{2x},x>0=>f(x)=\frac{ln(1-2x^2)}{xinx},求\underset{x\to 0}{\lim }f(x).$
3. $设f(x),x>0=>f(x)=\frac{tank\sqrt{x}}{\sqrt{x}},x\le 0=>f(x)=sinx+3,极限存在，则k=(?).答案：k=3$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{|x|};|x|,x\ge 0=>x=x,x\le 0=>x=-x$
5. $已知f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1},证明:\underset{x\to 0}{\lim }f(x)不存在。$

4. 夹逼定理(了解)

在转升本里面考的非常少。

定义：

若函数 $f(x),g(x),h(x)$ 在 $x_0$ 的邻域范围内有： $f(x)\le g(x)\le h(x)$

当 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }h(x)=A时，则\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=A$

适用条件： 无穷项求和型极限。

使用步骤：

1. 确定极限项数。n
2. 确定最小项，确定最大项。
3. 取极限 $ n 最小项极限 \leq 待求极限 \leq n最大项极限$
4. 由夹逼…………

eg：

1. $(2016-6)求\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{n^2+n-1}+\frac{1}{n^2+n-2}+...+\frac{1}{n^2+n-n})=0$
   1. 解：$\underset{x\to 0}{\lim }时\frac{1}{n^2+n-1}是最小值，\frac{1}{n^2+n-n}是最大值。$
   2. $可得\frac{1}{n^2+n-1}\ast n\le (\frac{1}{n^2+n-1}+\frac{1}{n^2+n-2}+...+\frac{1}{n^2+n-n})\le \frac{1}{n^2+n-n}\ast n$
   3. 左极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{n}{n^2+n-1}=0;抓大头$
   4. 右极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{n}{n^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{n}=0;抓大头$
2. 证明极限： $\underset{x\to 0}{\lim }n\ast (\frac{1}{n^2+\pi }+\frac{1}{n^2+2\pi }+...+\frac{1}{n^2+n\pi })=1;左边..,右边...,由夹逼$ ……

(2) 数列极限

$\underset{x\to +\infty }{\lim }xn=B,B为确定的数$

注意：

1. 一般来说在数列里面，说的趋近于$\infty 指的都是n\to +\infty$
2. $x_n\to A则x_{2n+1}\to A且x_{2n}\to A$

8. 函数的连续与间断

(1) 连续

定义： 在 $x_0$ 某邻域，有： 左极限=右极限=函数值，极限值=函数值。

eg:

1. $设f(x),x\ge 0=>f(x)=x+2,x<0=>f(x)=x-2,讨论在x=0处是否连续。$
   1. 解： x=0 时 $f(0)=2$
   2. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x-2)=-2$
   3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x+2)=2$
   4. 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
2. $(2018-4),设f(x),x\ne 0=>f(x)=(1-x{)}^{\frac{1}{x}},x=0=>f(x)=a,在x=0处连续，则a=?;答案a=e^{-1}$
3. $(2019-3)设f(x),x\ge 2=>f(x)=x^2-1,x<2=>f(x)x+a,在2处连续，a=?答案：a=1$
4. $(2020)设f(x),x\le 0=>f(x)=x+a,x>0=>f(x)=ln(x+e),在(-\infty ,+\infty )连续，a=？答案：a=1$

(2) 函数的间断点及其类型

定义： 函数在定义区间内，不在连续 => 间断

间断点： 指函数不连续的点。

间断点的分类： 分类标准：以间断点的左右极限是否存在作为划分依据。

1. 第一类间断点：指函数左右极限均存在间断。
   1. 跳跃间断点：左极限 $\ne$ 右极限
   2. 可去间断点：左极限 = 右极限
2. 第二类间断点：左右极限不存在的间断点。
   1. 无穷间断点：指左右极限为 $\infty$
   2. 震荡间断点：指 $x\to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 剧烈波动无定值 例如: $x=0是f(x)=sin\frac{1}{x}$ 的震荡间断点

考点： 间断点的识别。

1. 分式中，分母=0的点=> 必间断。
2. 函数的无定义点：=> 必间断。
3. 分段函数的分段点：=> 可能间断

解题：

1. 找到可疑间断点
2. 分别找到间断点的左右极限
3. 根据左右极限情况，定出类型。

eg：

1. (求间断点个数) $函数f(x)=\frac{1}{(x+1)(x-1)(x-2)}的间断点个数为？g(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x-1)(x-2)}的间断点个数呢？$
   1. 解：令 $(x+1)(x-1)(x-2)=0$ 可以得到间断点个数为 3。
   2. 解：令 $(x+1)(x-1)(x-2)=0$ 可以得到间断点个数为 3，$x\ge 0$ 所以 $g(x)$ 的间断点有2个
2. (判断类型) $[2016-3].讨论f(x),x<0=>f(x)=e\frac{1}{x},x=0=>f(x)=0,x>0=>f(x)=arctan\frac{1}{x}的间断点$
   1. 解：在 $x=0$ 处，左极限：$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }e\frac{1}{x}=0$
   2. 有极限：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$
   3. 左极限 $\ne$ 右极限 所以 跳跃间断点。
3. $(2015-3)设f(x)=\frac{e\frac{1}{x}-1}{e\frac{1}{x}+1},则x=0是f(x)的{：}_{间}断点$
4. $点x=0是f(x)=\frac{ln(1+x)}{x}的$ ___ 间断点。
5. $(2019-4)设x=0是f(x),x<0=>f(x)=\frac{1}{1+cosx},x=0=>f(x)=1,x>0=>f(x)=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}的可去间断点，求a=$ _

9. 无穷小量、无穷大量及其比较

无穷小量与无穷大量定义：

​ 无穷小量：若 $\lim f(x)=0$ 称此时的 $f(x)$ 为无穷小量，极限为0

​ 无穷大量：若 $\lim f(x)=\infty$ 称此时的 $f(x)$ 为无穷大量。

​ 注：0 也是无穷小量。

无穷小量与无穷大量之间的关系：

​ $\frac{1}{无穷大}=无穷小$ (无穷大的倒数)

​ $\frac{1}{不为0的无穷小}=无穷大$

计算无穷小量小技巧：

无穷小量加法运算：取次方最低

​ 1. $x^2+x^4=x^2,二阶$

eg：

1. $(2020)下列是无穷小量的是（）$
   1. $A.\underset{x\to 0}{\lim }xsin\frac{1}{x},B.\underset{x\to 0}{\lim }xsinx,C.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}sinx,D.\underset{x\to \infty }{\lim }xsin\frac{1}{x}$
   2. $A=0\ast sin\infty =>0\ast 有界=0$
   3. $B=\infty \ast sin\infty =>无界函数$
   4. $C=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x}=1$
   5. $D=\underset{x\to \infty }{\lim }x\ast \frac{1}{x}=1$
2. $(2015判断题)已知f(x)是一个无穷小量，则\frac{1}{f(x)}是一个无穷大量(X)$
3. 无穷小量是一个很小很小的数 (x) ,$x\to 0,x取值可以是0.1,0.01,0.001...$

(1) 无穷小量的比较

无穷小量的比较: 指比较无穷小靠近0速度的快慢

无穷小的阶： 指x的次方，阶越高，越趋近于0

例：$x\to 0,x^2=>2阶,x^3=>3阶$

设 $\alpha ,\beta 是两个无穷小$

1. 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0,称\alpha 与\beta 同阶$
2. 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=1,称\alpha \sim \beta$
3. 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty ,称\beta 比\alpha 低阶$
4. 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0,称\beta 比\alpha 高阶$
5. 若$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c,称\beta 是\alpha 的k阶无穷小$

1. 题型

题型：

1. 判断无穷小的关系
2. 指出某无穷小的阶
3. 已知某无穷小的阶，反求参数

解法：

1. 取$\lim \frac{\beta }{\alpha }$ 根据结论得出结果
2. 优先使用等价。

eg：

1. 当 $x\to 0$ 时，$2x^3+x^2$ 与x的阶数
   1. $2x^3+x^2\sim x^2=>2阶$ 而 x 是 1阶……
2. 当 $x\to 0$ 时，与 $x^2$ 等价的是（c）
   1. $A.1-e^{x^2},B.1-cos2x,C.ln(1+x^2),D.\sqrt{1+x^2}-1$
   2. $A.x\to 0,1-e^{x^2}=-(e^{x^2}-1)\sim -x^2$
   3. $B.1-cos2x\sim \frac{1}{2}(2x{)}^2=2x^2$
   4. $C.ln(1+x^2)\sim x^2$
   5. $D.\sqrt{1+x^2}-1=(1+x^2{)}^{\frac{1}{2}}-1\sim \frac{1}{2}{x}^2$
3. $(2018-4)x\to 0时,ln(1+2x^3)和xsin{x}^n是同阶无穷小，则n=？答案n=2$
4. $(2019-4)x\to 0时,x-sinx比\sqrt{1+x^n}-1高阶，但\sqrt{1+x^n}-1又比e^x-1高阶，则n=？答案n=2$
5. $(2020)x\to 0时,(1+a{x}^2{)}^{\frac{1}{4}}-1与cosx-1是等价的，则a=？答案a=-2$

10. 极限求曲线的渐近线

定义： 函数 $f(x)$ 在变量过程中无限接近一条直线，例如: 对于而言，$y=\frac{\pi }{2}与y=-\frac{\pi }{2}为arctanx渐近线。$

(1) 分类

1. 水平渐近线

当 $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A(常数)，称y=A为f(x)的水平渐近线。$

例如：函数 $f(x)=\frac{1}{x};x\to \infty ,y=A为f(x)的水平渐近线$

2. 垂直渐近线

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty ,称x=x_0为f(x)垂直渐近线$

注：$x_0,分母=0的点，无定义点$

3. 斜渐近线

斜着的直线一般来说等于 $y=ax+b$ 一次方程，表示的是一条直线。

$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$

$b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]$

eg:

1. 求 $y=\frac{2x-1}{(x-1{)}^2},渐近线数：$ ___
   1. 水平渐近线：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}=0,属于\frac{\infty }{\infty },则y=0，是水平渐近线$
   2. 垂直渐近线：$当，分母\to 0,x\to 1,\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}=\infty ,则x=1是垂直渐近线$
   3. 所以答案为 2
2. 求 $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+1}的斜渐近线。$
   1. 解： 设 $y=ax+b为f(x)的斜渐近线。$
   2. 其中：$b=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-2x-3}{(x+1)\ast x}=1$
   3. $b=\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-2x-3}{x+1}-x=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-2x-3-x(x+1)}{x+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-3x-3}{x+1}=-3$
   4. $y=x-3$
3. $(2014-4),求y=x\ast e^{\frac{1}{x}}的斜渐近线$ ___
   1. $a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=e^0=1$
   2. $b=\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)=\underset{x\to \infty }{\lim }(x{e}^{\frac{1}{x}}-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=\underset{x\to \infty }{\lim }x\ast \frac{1}{x}=1$

二、导数

概念：

描述的某一点的变化率。

例如：$t,0s\to 10s$

​ $温度,0^{。}C\to 100^{。}C$

​ 温度平均变化率=$\frac{100^{。}C-0^{。}C}{10s-0s}=1^{。}C/s$

定义：函数在 $f(x)$ 在某点 $x_0$ 的导数。

1. 定义式 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0);\frac{函数差}{变量差}$
   1. 引入: $x-x_0=△x,x=x_0+△x$
2. 增量式 $\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}=f^{\prime }(x_0)$
   1. $△x可换成其余字母，h,t$
   2. 整体思想 $△x\to \square$
   3. $△x\to 0,谁趋近于0，谁就是△x$
3. 引申公式: $\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+a△x)-f(x_0+b△x)}{c△x}=\frac{a-b}{c}\ast f^{\prime }(x_0)$

eg:

1. $(2016-4)已知f(x)在x=x_0,可导，则\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=$ ___
   1. 解：$h\to 0h=△x,\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{c△x}=\frac{1-0}{1}\ast f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$
2. $设f(x)在x=a处可导，则\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(a+△x)-f(a-△x)}{△x}=2f^{\prime }(a)$
3. $(2014-3)设f^{\prime }(0)=a,则\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(-△x)-f(0)}{△x}=-f^{\prime }(0)$
4. $(2019-4)设f^{\prime }(x_0)=-1,则\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=1$

题型二：利用导数定义：求函数 f (x)在某点的导数，

特点：一般此时的f(x)为复杂的多项式乘积形式。

1. $(2014)设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2010),则f^{\prime }(0)=$ ___
   1. 解： $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2010)}{x}$
   2. $=\underset{x\to 0}{\lim }(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2010)=(-1{)}^{2010}\ast (1\ast 2\ast 3...2010)=2010!$
2. $(2020)设f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+2020)则f^{\prime }(0)=$ ___ 答案：2020！

题型三：已知 $f(x)某点导数，求相关极限$

解法： 根据导数定义，凑出相关极限

1. $设f(x)在R上连续，且f(0)=0,f^{\prime }(0)=2,求\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^x-1)}{x}$
   1. $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2;\underset{\square \to 0}{\lim }\frac{f(\square )}{\square }=2$
   2. 解: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^x-1)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e^x)-f(0)}{(e^x-1)-0}\ast \frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\ast \frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\ast \frac{x}{x}=2$
2. $已知f(x)在x=0处连续，且f(0)=0,f^{\prime }(0)=2,求\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cosx}{tan{x}^2}=1$

题型四：已知函数极限，求相关函数

1. 已知 $f(x)在x=a处连续，且\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{x-a}=a,求f^{\prime }(a)及f(a)$
   1. 解 : $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{x-a}=2,\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)=0.$
   2. 又 $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{x-a}=2$

1. 左导数与右导数

1. 左导数定义：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ （左导数）； $f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ （右导数）
2. 函数在某点 $x_0$ 的可导条件 $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$ ;(左导=右导)
3. 可导的必要条件：可导函数必连续。

注： 可导可以得出哪些结论。

“可导” =>

1. 连续 <==> 左极限=有极限=函数值
2. 左导=右导

题型：

1. 告知 $f(x)$ 可导，求参数a,b
2. 考“可导=>连续=>极限”

eg

1. $(2017-6),设f(x),x>0=>f(x)=e^x,x\le 0=>f(x)=sinax+b,在x=0可导，求a，b$
   1. 解： $f(x)在x=0可导，则f(x)在x=0处连续。x=0,f(0)=b$
   2. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(sinax+b)=b;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^x=1;==>b=1$
   3. 又 $f_{-}^{\prime }(0)=f_{+}^{\prime }(0),即f_{-}^{\prime }0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{sinax+1-1}{x}=a$
   4. $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1;=>a=1$
   5. 综上所述：a=1,b=1;
2. ( 2019 ) , 若 f ( x ) = { a x + b , x ≤ 0 l n ( 1 + x 2 ) , x > 0 , 在 x = 0 可 导 ， 求 a ， b (2019),若 f(x)=\{^{ln(1+x^2),x>0}_{ax+b,x\leq0},在x=0 可导，求a，b (2019),若f(x)={ ax+b,x≤0ln(1+x2),x>0​,在x=0可导，求a，b
3. ( 2017 − 3 ) , 设 f ( x ) = { 0 , x = 0 x 2 s i n x , x ≠ 0 , 则 f ( x ) 在 x = 0 处 ( D ) (2017-3),设f(x)=\{^{x^2sinx,x\neq0}_{0,x=0},则f(x) 在x=0处(D) (2017−3),设f(x)={ 0,x=0x2sinx,x​=0​,则f(x)在x=0处(D)
   1. $A.不连续,B.连续但不导,C.可导且f^{\prime }(0)=1,D.可导且f^{\prime }(0)=0$
   2. $f(0=0);\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{2}sin\frac{1}{x}=0（0\ast 有界=0$
   3. $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}-0}{x-0}=x^{2}sin\frac{1}{x}xsin\frac{1}{x}=0$

2. 函数不可导的情况(了解)

1. 左导$\ne$右导 即尖点处 如 y=|x|
2. 导数为 $\infty$

eg

1. 讨论函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处的可导性
   1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=1$
   2. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1$
   3. $f^{\prime }(0)\ne f^{\prime }(0)=>f^{\prime }(0)不存在,不可导$
2. 讨论函数 $y=x^2|x-1|$ 在 $x=1$ 处的可导性 答案：不可导。
3. 讨论函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $x=0$ 处的可导性
   1. 解： $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{\frac{1}{3}}-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}=\infty ,不可导$
4. 设 $f(x)在x=a$ 的某个邻域内有定义，则 f(x) 在x=a处可导的一个充要条件 ( C )
   1. $A.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}存在,B.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}存在$
   2. C . lim ⁡ x → 0 f ( a ) − f ( a − h ) h 存 在 , D . lim ⁡ x → ∞ { h [ f ( a + 1 h ) − f ( a ) ] } , 存 在 C.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}存在,D.\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\{h[f(a+\frac{1}{h})-f(a)]\},存在 C.x→0lim​hf(a)−f(a−h)​存在,D.x→∞lim​{ h[f(a+h1​)−f(a)]},存在
   3. 解： 先把函数改写成增量式，$\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}$

做题：突破点：

1. $\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(a+△x)-f(a)}{△x}$ 左边=右边，左导=右导
2. 看分子：动点–定点，动静结合。

3. 各大函数的求导公式

1. 常数：$C^{\prime }=0$
2. 幂函数：$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$ 熟记 $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2},(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
3. 指数：$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$ 熟记 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
4. 对数：$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$ 熟记 $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
5. 三角函数：
   1. 带 “C” 的导数都有负号
   2. $(sinx{)}^{\prime }=cosx,(cosx{)}^{\prime }=-sinx,(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$
   3. $(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x,(secx{)}^{\prime }=secx\ast tanx,(cscx{)}^{\prime }=-cscx\ast cotx$
6. 反三角函数：
   1. $(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
   2. $(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

(1) 初等函数求导

eg

1. 设 $y=cosx\ast x^2$求$y^{\prime }$ 和 $y^{\prime }{|}_{x=0}$
   1. 解： $y^{\prime }=(cosx{)}^{\prime }\ast x^2+cosx\ast (x^2{)}^{\prime }=-sinx\ast x^2+cosx\ast 2x=-x^{2}sinx+2xcosx,及y^{\prime }{|}_{x=0}=0$
2. $设y=x^e+e^x求y^{\prime }$
   1. 解： $y^{\prime }=e\ast x^{e-1}+e^x$

(2) 复合函数求导

求导原则=> 从外向里层层求导

① 类型一 具体函数求导

具体函数求导【不含 $f(x)...$】
eg:

1. 设 $y=sin{x}^3,$ 求 $y^{\prime }$
   1. 解： $y^{\prime }=cos{x}^3\ast 3x^2=3x^2\ast cos{x}^3$
2. $y=e^{x^2+x-1},$ 求 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$
   1. 解： $y^{\prime }=e^{x^2+x-1}\ast (2x+2)=2(x+1)e^{x^2+x-1}$
3. $设y=ln(1+e^{x^2})+sin2x,求\frac{dy}{dx}$

② 类型二 抽象函数求导

抽象函数求导，$f[g(x)]$

注：f 也要求导，$f(x{)}_{\to }^{导}{f}^{\prime }(x)$

eg:

1. 设 $y=f(sinx),且f(u)可导，求y^{\prime }=$ ___
   1. 解： $y^{\prime }=f^{\prime }(sinx)\ast cosx$
2. 设函数 $y=x\ast f(arctan\sqrt{x})$ 其中$f(u)$ 可导，求 $\frac{dy}{dx}$
   1. 解 ： $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }f(arctan\sqrt{x})+x\ast [f(arctan\sqrt{x}){]}^{\prime }$
   2. $=1\ast f(arctan\sqrt{x})+x\ast f^{\prime }(arctan\sqrt{x})\ast \frac{1}{1+x}\ast \frac{1}{2\sqrt{x}}=f(arctan\sqrt{x})+\frac{x\ast f^{\prime }(arctan\sqrt{x})}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(3) 分段函数求导

1. 定义回顾 F ( x ) { g ( x ) , x > a ; f ( x ) , x ≤ a ; F(x)\{^{f(x),x\leq a;}_{g(x),x>a;} F(x){ g(x),x>a;f(x),x≤a;​
2. 求导原则：
   1. 分段点两侧，直接求导
   2. 中间分段点处，用定义求导
3. 可导=可微

eg：

• ( 2018 − 4 ) 若 f ( x ) = { x , x < 0 ; x 2 , x ≥ 0 ; , 以 下 错 误 的 是 ( D ) (2018-4)若f(x)=\{^{x^2,x\geq0;}_{x,x<0;},以下错误的是(D) (2018−4)若f(x)={ x,x<0;x2,x≥0;​,以下错误的是(D)
  • A . f ′ ( 0 ) = 1 , B . f + ′ ( 0 ) , C . f ′ ( 0 ) 不 存 在 , D . f ′ ( x ) = { 1 < 0 2 x , x ≥ 0 ; A.f'(0)=1,B.f_+'(0),C.f'(0)不存在,D.f'(x)=\{^{2x,x\geq0;}_{1<0} A.f′(0)=1,B.f+′​(0),C.f′(0)不存在,D.f′(x)={ 1<02x,x≥0;​
  • $A:\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$
  • $B:\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$
  • $C:\therefore f_{+}^{\prime }(x)\ne f_{-}^{\prime }(0)=>f^{\prime }(0)不存在$
  • D : 正 确 的 表 示 f ′ ( x ) = { 1 , x ≥ 0 ; 2 x , x > 0 ; 不 存 在 ， x = 0 D: 正确的表示 f'(x)=\{^{2x,x>0;}_{1,x\geq 0;}不存在，x=0 D:正确的表示f′(x)={ 1,x≥0;2x,x>0;​不存在，x=0
• [ 2011 − 4 ] , 若 使 f ( x ) = { b ( 1 + x ) 2 , x > 0 e a x , x ≤ 0 ; , 在 ( − ∞ , + ∞ ) 上 可 微 则 a = ? , b = ? ; 答 案 a = − 2 , b = 1 [2011-4],若使f(x)=\{^{e^{ax},x\leq0;}_{b(1+x)^2,x>0},在(-\infty,+\infty)上可微则a=?,b=?;答案a=-2,b=1 [2011−4],若使f(x)={ b(1+x)2,x>0eax,x≤0;​,在(−∞,+∞)上可微则a=?,b=?;答案a=−2,b=1
• 设 f ( x ) = { 2 x 2 , x ≤ 0 ; x c o s 2 x , x > 0 ; , 则 f ( x ) 在 x = 0 处 设f(x)=\{^{xcos\frac{2}{x},x>0;}_{2x^2,x\leq0;},则f(x)在x=0处 设f(x)={ 2x2,x≤0;xcosx2​,x>0;​,则f(x)在x=0处 ___ ©
  • $A.极限不存在，B.极限存在但不连续，C.连续但不可导，D.可导$

(4) 隐函数求导

隐函数的定义：

• 显函数：形如 $y=f(x),称为显函数，如:y=e^x,y=x^2...$ 左边单独1个y，右边是x相关函数。
• 隐函数：不是 $y=f(x)$ 形式的函数，（非显即隐）$如:y-x^2-1=0,y=e^{xy}$

解法：

1. 公式法：
   1. 对题干函数移项，(用方程左边—右边)得 F(x,y)=0
   2. 求偏导，$F_x:$ 对x求导，y看作是常数 $Fy:$ 对y求导，x看作是常数
   3. 套公式： $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

eg:

1. $(2016)设函数y=y(x)由y^2-2xy+9=0确定$ 求 $y^{\prime }$

   1. 解：令$F(x,y)=y^2-2xy+9$
   2. $\therefore F_x=-2y,Fy=2y-2x$
   3. 故 $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{2y}{2y-2x}=\frac{y}{y-x}$

2. $(2010)设y^2+sin(2x-y)=x确定隐函数y=y(x),求\frac{dy}{dx}.$

   1. $...\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{2cos(2x-y)-1}{2y-cos(2x-y)}$

3. 求有方程 $arctanx=ln\sqrt{x^2+y^2}$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数

   1. $...\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$

4. $(2018-10)设y=y(x)由e^{x+2y}+cos(xy)=2,确定，求y^{\prime }{|}_{x=0},x=0,y=?$

(5) 参数方程求导

定义：x与y通过中间变量t间接建立的关系式。

写法： { x = x ( t ) y = y ( t ) ; t : 参 数 \{^{y=y(t)}_{x=x(t)};t:参数 { x=x(t)y=y(t)​;t:参数 如 { x = 2 t y = t = > y = x 2 \{^{y=t}_{x=2t}=>y=\frac{x}{2} { x=2ty=t​=>y=2x​

求导原则：

1. $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}=\frac{y对t求导}{x对t求导}（一阶导数）$
2. $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{(\frac{dy}{dx}{)}^{\prime }t}{x^{\prime }(t)}=\frac{一阶导对t求导}{x对t求导}(二阶导数)$

eg：

1. ( 2015 ) 曲 线 { y = 4 t x = t 2 在 t = 1 处 的 导 数 为 ： (2015)曲线\{^{x=t^2}_{y=4t} 在t=1处的导数为： (2015)曲线{ y=4tx=t2​在t=1处的导数为： __
   1. 解 $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)},其中y^{\prime }(t)=4,x^{\prime }(t)=2t$
   2. $\therefore y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}=\frac{4}{2t}=\frac{4}{2}=2$
2. ( 2018 − 6 ) 求 参 数 方 程 { y = a s i n 3 θ x = a c o s 3 θ , 所 确 定 导 数 d y d x , d 2 d x 2 ; (2018-6)求参数方程 \{^{x=acos^3\theta}_{y=asin^3\theta},所确定导数\frac{dy}{dx},\frac{d^2}{dx^2}; (2018−6)求参数方程{ y=asin3θx=acos3θ​,所确定导数dxdy​,dx2d2​;
   1. $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(\theta )}{x^{\prime }(\theta )}=-tan\theta$
   2. $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{3a}\ast se{c}^4\theta \ast csc\theta$

1. 参数方程与隐函数的结合

eg:

• 设$y=y(x)$ 由 { 2 y − t y 2 + e t = 5 x = a r c t a n t \{^{x=arctant}_{2y-ty^2+e^t=5} { 2y−ty2+et=5x=arctant​确定，求 $\frac{dy}{dx}$
  • 解：$\because x^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t^2},令F(y,t)=2y-t{y}^2+e^t-5$
  • $F_y=2-2ty,F_t=-y^2+e^t$
  • $\therefore y^{\prime }(t)=\frac{dy}{dx}=-\frac{F_t}{F_y}=\frac{y^2-e^t}{2-2ty}$
  • $\therefore \frac{(y^2-e^t)(1+t^2)}{2-2ty}$

(6) 幂指函数求导

**定义：**形如 $u^v$ 的函数叫幂指函数函数，其中 u，v均是函数 例如 $x^{sinx},(\frac{x}{1+x}{)}^{x^2}$

判断需要使用哪一种求导的方法，

• 遇到单个 $y=u^v$ 两种方法都可以
• 遇到单个 $y=u^v$ 含连乘除，根号复合型首选，对数求导法
• 遇 $y=u^v\pm g(x)$ 只可选$u^v=e^{vlnu}$

解法① 两边取对数

求导方法步骤： 对数求导数法 如遇到 $y=u^v$

1. 两边同时取对数 $lny=vlnu$
2. 然后两边同时求导 把y看作x的函数，y需求导。$\frac{1}{y}\ast y^{\prime }=(v\ast lnu{)}^{\prime }$ 两边同时 *y
3. 化简，$y^{\prime }=(v\ast lnu{)}^{\prime }\ast y$
4. 回代，y用$u^v$表示=>$y^{\prime }=(v\ast lnu{)}^{\prime }\ast u^v$

eg:

1. $(2011-2014),求y=x^{sinx},的导数$
   1. 解：左右两边同时取对数：$lny=ln{x}^{sinx}=>lny=sinx\ast lnx$
   2. 故两边同时求导：$\frac{1}{y}\ast y^{\prime }=cosx\ast lnx+sinx\ast \frac{1}{x}=>y^{\prime }=y\ast [cosxlnx+\frac{sinx}{x}]$
   3. 即 $y^{\prime }=x^{sinx}\ast (cosxlnx+\frac{sinx}{x})$
2. $(2016)求y=(\frac{x}{1+x}{)}^x,(x>0)的导数$
   1. 解：$lny=ln(\frac{x}{1+x}{)}^x==>lny=xln\frac{x}{1+x}==>lny=x[lnx-ln(1+x)]$
   2. 求导得： $\frac{1}{y}\ast y^{\prime }=lnx-ln(1+x)+x\ast (\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})==>y^{\prime }=y\ast [ln\frac{x}{1+x}+1-\frac{x}{1+x}]$
   3. $==>y^{\prime }=\frac{x}{1+x}(ln\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x})$

解法② 公式变形法

用 $u^v=e^{vlnu}$ 变成复合函数求导

eg:

1. 求$y=x^x$ 的导数
   1. 解： $\because y=x^x=e^{xlnx}=>y=e^{xlnx}$
   2. $\therefore y^{\prime }=e^{xlnx}\ast (lnx+x\ast \frac{1}{x})=>y^{\prime }=e^{xlnx}\ast (lnx+1)=>y^{\prime }=x^x\ast (lnx+1)$
2. 设 $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}}$求 $y^{\prime }$
   1. 解：$\because y=[\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}{]}^{\frac{1}{2}}==>lny=\frac{1}{2}ln\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}==>lny=\frac{1}{2}[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)]$
   2. 同时求导： $\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\frac{1}{2}[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}]==>y^{\prime }=\frac{y}{2}[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}]$
   3. $y^{\prime }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}}[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}]$
3. $(2016)y=x^{\frac{1}{x}}+1,求y^{\prime }$
   1. 解：$y^{\prime }=x^{\frac{1}{x}}\ast \frac{1}{x^2}(1-lnx)$

(7) 变限积分求导

定义：

形如 ${\int }_{g(x)}^{f(x)}h(t)dt$ 叫变限积分函数

如 ${\int }_0^{x^2}tdt,{\int }_x^{x^2}2t^{3}dt$ 含x的函数

求导方法： $[{\int }_{下限}^{上限}f(t)dt{]}^{\prime }=f(上限)\ast 上{限}^{\prime }-f(下限)\ast 下{限}^{\prime }$

遇到变限积分==>求导！==> { 等 式 ， ( 结 合 微 分 方 程 ) 极 限 = > 洛 必 达 \{^{极限=>洛必达}_{等式，(结合微分方程)} { 等式，(结合微分方程)极限=>洛必达​

eg：

1. $(2018-4)求({\int }_0^{x}2t^{2}dt{)}^{\prime }=2x^2\ast (x{)}^{\prime }-0=2x^2$
2. $(2015-4)设\phi (x)={\int }_0^{x}x\ast cos{t}^{2}dt,则{\phi }^{\prime }(x)=$ ___
   1. $\phi (x)=x{\int }_0^x\ast cos{t}^{2}dt==>{\phi }^{\prime }(x)=x^{\prime }{\int }_0^x\ast cos{t}^{2}dt+({\int }_0^x\ast cos{t}^{2}dt{)}^{\prime }$
   2. $={\int }_0^x\ast cos{t}^{2}dt+x[cos{x}^2\ast 1-cos0\ast 0]==>{\int }_0^x\ast cos{t}^{2}dt+xcos{x}^2$
3. $(2019-8)求极限\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}sintdt}{(e^x-1)tanx}$
   1. 解：原式=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}sintdt}{x^2},洛=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

(8) 高阶导数求导(了解，江苏)

定义： 二阶及其以上的导数，如 $y^{\prime \prime },y^{\prime \prime \prime },y^{(n)}==叫y的n阶导$

常见n阶导公式： 江苏考的较多

1. $[sin(ax+b){]}^n=a^n\ast sin(ax+b+n\frac{\pi }{2})$
2. $[cos(ax+b){]}^n=a^{n}cos(ax+b+n\frac{\pi }{2})$
3. $[\frac{1}{ax\pm b}{]}^n=\frac{(-1{)}^{n}n!a^n}{(ax{)\text{)})}^{n+1}}$

幂函数$x^a$ 求导不会超过a次

1. $(x^a{)}^{(a)}=a!$
2. $(x^a{)}^{a+1}=0$

高阶导的题型解法

1. 求具体导数，如求 $y^{\prime \prime }$ ==>直接求导
2. 求$y(n)$ 求2-3次导数，找规律。

eg:

1. 设 $y=x^2+1+e^x$求$y^{(3)}{|}_{x=0}$
   1. 解： $y^{\prime }=2x+0+e^x$ $y^{\prime \prime }=2+e^x$ $y^{(3)}=0+e^x$
2. $(2016-6)$ 求函数$y=x{e}^x$ 的 n阶导数的一般表达式
   1. 解： $y^{\prime }=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x$ $y^{\prime \prime }=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x...$
   2. $\therefore y^{(}n)=(n+x)e^x$
3. 设$y=x^4+x^3+x^2+x+1$ 求 $y^{(4)},y^{(5)}$
   1. 解：$y^{(4)}=(x^4{)}^{(4)}=4!$ $y^{(5)}=0$
4. 设$y=co{s}^{2}x$ 求 $y^{(n)}$
   1. $答案：y^{(n)}=(\frac{1}{2}cos2x{)}^{(n)}=2^{n-1}cos(2x+\frac{n\pi }{2})$
5. 设$y=\frac{1}{x^2-2x-8}$ 求$y^{(n)}$
   1. 解： $y=\frac{1}{6}(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+2})$
   2. $y^{(n)}=\frac{1}{6}(-1{)}^{n}n![\frac{1}{(x-4{)}^{n+1}}-\frac{1}{(x+2{)}^{n+1}}]$

4. 导数的四则(复合)运算法则

(1) 四则运算法则

设 $u,v为函数，k为常数$

1. $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
2. $(ku{)}^{\prime }=k\ast u^{\prime }$
3. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 前导后不导+前不导后导
4. $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
5. 注： 避免对分式直接求导

eg：

1. 求 $y=2sinx+cosx\ast e^x-\sqrt{x}$ 的导数
   1. 解：$y=2cosx+(-sinx)e^x+cosx{e}^x-\frac{10}{2\sqrt{x}}=2cosx-sinx{e}^x+cosx{e}^x-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

(2) 复合运算法

$y-f[g(x)]$

原则：从外向里，层层求导，每层相乘。

eg: $求y=sin{x}^2的的导数\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$

解： $\because y^{\prime }=cos{x}^2\ast 2x$

​ $\therefore \frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=cos0\ast 2\ast 0=0$

③ 复合函数易错题

eg ：

1. 设 $y=ln\frac{1-x}{1+x},求y^{\prime }=$ ___
   1. 解： $\because y=ln(\frac{1-x}{1+x}{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ast ln\frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2}[ln(1-x)-ln(1+x)]$
   2. $\therefore y^{\prime }=\frac{1}{2}[\frac{-1}{1-x}-\frac{1}{1+x}]$
2. $(2013-6)设y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$
   1. 解 $y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})\ast (\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})\ast (\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}{)}^2}{(\sqrt{x+1}{)}^2-(x+2{)}^2}$
   2. $=\frac{2x+3-2\sqrt{x^2+3x+2}}{-1}=2\sqrt{x^2+3x+2}-2x-3$
   3. $\therefore y^{\prime }=2\ast \frac{1}{2\sqrt{x^2+3x+2}}\ast (2x+3)-2=\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+2}}-2$

5. 函数的微分

定义： dy叫做函数的y的微分

计算公式： $dy=y^{\prime }dx==>d\square ={\square }^{\prime }dx$

理解： $y^{\prime }={\frac{dy}{dx}}_{\to \to \to \to }^{左右同乘dx}{y}^{\prime }dx=dy$

eg:

1. 设 $y=cos2x\ast ln(1+x^2)$ 求dy
   1. 解：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
   2. $y^{\prime }=-2sin2xln(1+x^2)+\frac{2xcos2x}{1+x^2}$
   3. 由 $dy=y^{\prime }dx=[-2sin2xln(1+x^2)+\frac{2xcos2x}{1+x^2}]dx$
2. $(2020-7)设y-siny+3x^2=0求dy$
   1. 解： 令$F(x,y)=y-siny+3x^2;F_x=6x,F_y=1-cosy$
   2. $\therefore y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{-6x}{1-cosy}$
   3. $\therefore dy=y^{\prime }dx=\frac{-6x}{1-cosy}dy$
3. 练习,求$(2018-3)df(sinx)=$
4. $(2016-6)求dlncos{e}^x=$
5. 求 $dsinx=$
6. $d2\sqrt{x}$

6. 导数的几何应用

$切线的y=kx+a;k=tan\theta =\frac{△y}{△x}=\frac{y=y_0}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$k_{切}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$ 也就是说 $x_0$ 上面的导数=k=斜率

公式： $f^{\prime }(x_0)描述f(x)在[x_0,f(x_0)]$ 切线的斜率

1. $(x_0,f(x_0))=>切点k=f^{\prime }(x_0)$
2. 切线方程：$f(x)-f(x_0)=k(x-x_0)$
3. 法线方程：$f(x)-f(x_0)=-\frac{1}{k}(x-x_0)$
4. 斜率相乘$=-1$

题型：

1. 切点 $(x_0,f(x_0))$ 已知
2. 切点未知
   1. 设切点为$[a,f(a)]=>切线：f-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$
   2. 利用题干切线满足条件，算出a的值

eg：

1. $(2018-4)求曲线y=x+1-x{e}^x$ 在$(0,1)$的切线方程
   1. 解： $\because y^{\prime }=1-(e^x+x{e}^x)$
   2. $\therefore y^{\prime }{|}_{(0,1)}=1-(e^0+0)=0$
   3. 故切线斜率为k=0,$\therefore 切线为：y-y_0=k(x-x_0)=>y-1=0$
   4. 切线：y=1 水平线。
2. ( 2018 − 6 ) 求 曲 线 { y = e t c o s t x = e t s i n 2 t 在 点 t = 0 的 切 线 (2018-6)求曲线\{^{x=e^tsin2t}_{y=e^tcost} 在点t=0的切线 (2018−6)求曲线{ y=etcostx=etsin2t​在点t=0的切线
   1. 解：当 t=0 时 x=0 y=1 切点为 $(x_0,y_0)=(1,0)$
   2. $\because y^{\prime }(t)=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}=\frac{1}{2}=k$
   3. $\therefore 切线为y-y_0=k(x-x_0)=>y=\frac{1}{2}x+1$
3. 若直线 $y=5x+m$是曲线$y=x^2+3x+2$ 的一条切线，则m=__
   1. 解：设切点为$(a,a^2+3a+2),又y^{\prime }=2x+3，\because k=y^{\prime }{|}_{x=a}=2a+3$
   2. 切线：$y-(a^2+3a+2)=(2a+3)(x-a)==>y=(2a+3)x-a^2+2$
   3. 又切线为 y = 5 x + m ; ∴ { 2 − a 2 = m = = > m = 1 2 a + 3 = 5 = = > a = 1 y=5x+m;\therefore \{^{2a+3=5==>a=1}_{2-a^2=m==>m=1} y=5x+m;∴{ 2−a2=m==>m=12a+3=5==>a=1​
4. 求 $y=x^{\frac{3}{2}}$过$(0,-4)$ 的切线方程
   1. 解：设切点为$(a,a^{\frac{3}{2}}),k=\frac{3}{2}\sqrt{a}$
   2. $\therefore $切线为 $y-a^{\frac{3}{2}}=\frac{3\sqrt{a}}{2}(x-a)代入(0-4)的a=4，3x-y-4=0,y=3x-4$

7. 导数与单调性和极值的关系

(1) 单调性

设函数 $[a,b]$ 可导

1. $f^{\prime }(x)>0=>f(x)\uparrow ,(a,b]叫增区间$
2. $f^{\prime }(x)<0=>f(x)\downarrow ,(a,b)叫减区间$
3. $f^{\prime }(x_0)=0,称x_0为驻点$

求 $f(x)$ 单调区间的方法:

1. 确定 $f(x)$ 定义域。
2. 求 $f^{\prime }(x)$ 且令 $f^{\prime }(x)=0$ 找到全部驻点 及 $f^{\prime }(x)$ 不存在的点(无定义点)
3. 利用这些点，将定义域分割。
4. 列表讨论各子区间 的符号
   1. $f^{\prime }(x)>0=>单增；f^{\prime }(x)<0=>单减$

eg:

1. 求 $f(x)=2x+3\sqrt[3]{x^2}$ 的单调区间。

   1. 解: $f(x)$ 的定义域：$x\in R$

   2. $\because f^{\prime }(x)=2+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2\sqrt[3]{x}+2}{\sqrt[3]{x}}$

   3. 令$f^{\prime }(x)=0$ 得：$x=-1;x=0$ ,$f^{\prime }(x)$不存在

   4. x	$(-\infty ,-1)$	-1	$(-1,0)$	0	$(0,+\infty )$
      $f^{\prime }(x)$	+	0	-		+
      $f(x)$	$\uparrow$		$\downarrow$		$\uparrow$

   5. 综上：单调增区间：$(-\infty ,-1),(0+\infty )$减区间：$(-1,0)$

(2) 函数的极值

1. **极值：**值 f(x) 的局部的最值

   1. 极大值：指局部范围的最大值
   2. 极小值：指局部范围最小值

2. 极值点的出处：

   1. $f^{\prime }(x)=0$点 =>驻点
   2. $f^{\prime }(x)$不存在的点(无定义) =>不可导点

3. 极值的判断：

   1. 利用 $f^{\prime }(x)$单调性判断 = > { 先 减 后 增 = > 极 小 值 先 增 后 减 = > 极 大 值 =>\{^{先增后减=>极大值}_{先减后增=>极小值} =>{ 先减后增=>极小值先增后减=>极大值​
   2. 利用$f^{\prime \prime }(x_0)$ 判断 = > { f ′ ′ ( x 0 ) > 0 = > 极 小 值 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 = > 极 大 值 =>\{^{f''(x_0)<0=>极大值}_{f''(x_0)>0=>极小值} =>{ f′′(x0​)>0=>极小值f′′(x0​)<0=>极大值​

4. 求极值的步骤：

   1. 确定$f(x)$ 的定义域
   2. 令$f^{\prime }(x)=0$ 找到驻点，及 $f’(x)$无定义点
   3. 利用这些点, 分割定义域，成子区间
   4. 列表讨论子区间内的单调性即 $f^{\prime }(x)$ 正负性 { 极 小 值 极 大 值 \{^{极大值}_{极小值} { 极小值极大值​

eg:

1. 设 $f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$ 求 的单调区间和极值

   1. 解： $f(x)$的定义域为 $(-\infty ,+\infty )$

   2. $f^{\prime }(x)=6(x^2-3x+2),令f^{\prime }(x)=0,即x^2-3x+2=0,(x-1)(x-2)=0$

   3. 故驻点：$x_1=1,x_2=2$

   4. x	$(-\infty ,1)$	1	$(1,2)$	2	$(2,+\infty )$
      $f^{\prime }(x)$	+	0	-	0	+
      $f(x)$	$\uparrow$	极大值:2	$\downarrow$	极小值:1	$\uparrow$

   5. 故 增区间为：$(-\infty ,1),(2,+\infty )$极大值为$f(1)=2$ 减区间为$(1,2)$ 极小值为：$f(2)=1$

2. $(2016-3),y=x^2-8x+5$ 的极小值是 （D）

   1. $A.5,B.7,C.4,D.-11$
   2. 令 $y’=2x-8=0=>$ 驻点$x=4$ 又$y^{\prime \prime }=2>0$
   3. $\because$说明$x=4$ 取极小值$f(4)=-11$

3. $(2013-4),已知f(x)=x^3+a{x}^2+bx在x=1处极小值为-2,则a=?,b=?,答案：a=0,b=-3$

   1. 由 “在x=1处极小值为-2” 可以得出 { x = 1 , f ′ ( 1 ) = 0 x = 1 , f ( 1 ) = − 2 \{^{x=1,f(1)=-2}_{x=1,f'(1)=0} { x=1,f′(1)=0x=1,f(1)=−2​

(3) 极值和驻点的关系

1. 极值的来源： { 2. 不 可 导 点 ( 尖 点 ) ， f ′ ( x 0 ) 不 存 在 1. 驻 点 ， f ′ ( x 0 ) = 0 \{^{1.驻点，f'(x_0)=0}_{2.不可导点(尖点)，f'(x_0)不存在} { 2.不可导点(尖点)，f′(x0​)不存在1.驻点，f′(x0​)=0​
2. 极值点与驻点的关系 ==》 其实两者并没有实质性的关系
3. 考点： 极值点与驻点，唯一确定的关系：可导函数有极值，则该点定为驻点
4. 充分，必要，充要。
   1. $A==>B$ 由A可以得出B，则称A是B的充分条件，B是A的必要条件
   2. $A<==>B$ 可以互相反推论，(镜子) 则称AB互为充要。

eg:

1. $f^{\prime }(x_0)$不存在，是 $f(x_0)$为极值的 (D) 条件.
   1. $A.充分,B.必要,C.充分必要,D.即非充分也非必要$
2. 设 $f(x)$在 $x=a$处，取的极值则（C）
   1. $A.f^{\prime }(a)一定为0,B.f^{\prime }(a)一定不存在,C.f(x)可导,则f^{\prime }(a)=0,D.f(x)可导则为极大值$

(4) 函数的最值

1. 确定$f(x)$的定义域
2. 求端点值，及极值
3. 比较以上函数值 { 最 小 = > 最 小 值 最 大 = > 最 大 值 \{^{最大=>最大值}_{最小=>最小值} { 最小=>最小值最大=>最大值​

eg：

1. $(2015-8),求y=x^4-8x^2+2,(-1\le x\le 3)最值$
   1. 解：两个端点 $x=-1,y=-5;x=3,y=11$
   2. $y^{\prime }=4x^3-16x=4x(x^2-4),令y^{\prime }=0,驻点：x_1=0,x_2=-2(舍去),x_3=2$
   3. $x=0,y=2:x=2,y=-14$ 故最大值 $y(3)=11,最大值：y(2)=-14$

8. 函数的凹凸性

1. 曲线的凹凸性
2. 判断： { f ′ ′ ( x ) < 0 = > f ( x ) 凹 f ′ ′ ( x ) > 0 = > f ( x ) 凹 \{^{f''(x)>0=>f(x)凹}_{f''(x)<0=>f(x)凹} { f′′(x)<0=>f(x)凹f′′(x)>0=>f(x)凹​
3. 拐点，曲线凹凸性发生改变的点 $[x_0,f(x_0)]$ 坐标，一般为$f^{\prime \prime }(x)=0,f^{\prime \prime }(x)$ 不存在

解题思路：求 $f(x)$ 凹凸区间及拐点

1. 确定 $f(x)$ 定义域
2. 求 $f^{\prime \prime }(x)$且令$f^{\prime \prime }(x)=0$ 或 $f^{\prime \prime }(x)$不存在的点
3. 列表 用这些分割定义域，讨论子区间 $f^{\prime \prime }(x_0)$正负性 { 凸 凹 \{^凹_凸 { 凸凹​

eg:

1. 设 $f(x)=x^4-6x^3+12x^2-6$ 的凹凸性及拐点

   1. 解： $f(x)$ 中定义域 $x\in (-\infty ,-\infty )$

   2. $f^{\prime }(x)=4x^3-18x^2+24x;f^{\prime \prime }(x)=12(x-1)(x-2)$

   3. 令$f^{\prime \prime }(x)=0$ 得$x=1,x=2$

   4. x	$(-\infty ,1)$	1	$(1,2)$	2	$(2,+\infty )$
      $f^{\prime }(x)$	+	0	-	0	+
      $f(x)$	$\uparrow$	极大值:2	$\downarrow$	极小值:1	$\uparrow$

   5. 综上： 凹区间：$(-\infty ,1),(2,+\infty )$ 凸：$(1,2)$ 拐点：$(1,1),(2,10)$