高等数学(1) —— 映射与函数

A man's feet should be planted in his country, but his eyes should survey the world.
一个人应该立足本土，放眼世界。

高等数学(1) —— 映射与函数

复习向的笔记。

1. 映射

1.1 映射

映射： 集合X有元素x，如果存在一个法则f，使得在X中的任意元素x都存在集合Y中的元素y与之一一对应。则称f为从X到Y的映射。

像：元素y
原像： 元素x

定义域： 集合X
值域： 集合Y

满射就是Y中所有元素都是X中某元素的像，单射就是只存在一对一的映射，值得注意的是，映射又称为算子、泛函、变换，在不同的数学分支自然有不同的叫法，而在实数集到实数集的映射通常叫做函数。

1.2 逆映射与复合映射

逆映射： f是从X到Y的单射，如果存在法则g为从Y到X的映射，则法则g是法则f的逆映射。

复合映射： f是从X到Y的映射，若f的值域都在映射g的定义域内，则f与g所构成的新映射为复合映射。

2. 函数

2.1 函数的定义

函数： 定义域和值域都在实数域内的映射。

自变量即映射的原像，因变量即映射的像。

自然定义域： 对于用抽象的算式表达的函数，使得该算式有意义的一切实数所组成的集合。

2.2 函数的几种特性

2.2.1 函数的有界性

上界： 对于一个函数f(x)，存在实数K1满足

下界： 类比上界，

有界： 存在正数M，

2.2.2 函数的单调性

单调递增： 在一个区间内，变量值大的函数值总是大于变量值较小的函数值，即

单调递减： 在一个区间内，恒存在：

单调函数： 单调递增和单调递减的函数的统称。

2.2.3 函数的奇偶性

奇函数：

偶函数：

非奇非偶： 同时不满足奇函数和偶函数的定义。

2.2.4 函数的周期性

周期函数： 存在正数T，使得函数

周期： 上述的正数T，通常指最小正周期。

2.3 反函数与复合函数

反函数： 定义域和值域都定义在实数集的映射f的逆映射。

复合函数： 定义域和值域都定义在实数集的映射所组成的复合映射。

2.4 函数的运算

和差商积。

2.5 初等函数

基本初等函数：

指数函数
幂函数
对数函数
三角函数
反三角函数

初等函数： 用基本初等函数复合构成的函数。