正向随机微分方程的经典数值格式模拟

前言

随机微分方程的发展分支可以说到现在非常广泛了，从19世纪的布朗运动发现到上世纪40年代的伊藤积分再到正向伊藤随机微分方程解的存在唯一性定理，后又跨越到上世纪90年代的倒向随机微分方程解的存在唯一性定理发现，最后到近现在的带跳、带马尔科夫、带延迟等一系列正倒向随机微方程解的存在唯一性定理等发现，可以说体系越发广泛，这也是顺应时代发展的必然趋势。

本篇文章将数值模拟经典下的正向随机微分方程数值格式的模拟，由于不是存粹数学研究，有些假设和定理和推导会简单概括，重点是计算机编程模拟，也算是学习随机微分方程数值法的入门介绍。

一：随机微分方程（SDE）的相关性质

简介

随机过程 $X_t$ 被称作一个扩散过程，如果它满足下面的随机微分方程：

$X_t=X_0+\int_{t_0}^{t}a(s,X_s)ds+\int_{t_0}^{t}b(s,X_s)dW_s,t\in[t_0,T],$ 其中 $a_s=a(s,X_s)$ 和 $b_s=b(s,X_s)$ 为 $[0,T]\times R^m$ 上的可测函数， $W_t $为概率空间 $(\Omega,F,P)$ 上的 $d -$ 维标准维纳过程。但为了此随机模型在实际中得以应用，保证上述扩散过程得以存在，我们将对此扩散过程给与一定条件，此 $S D E$ 的解才会存在且唯一！

SDE解的存在唯一性定理

令 $T > 0$ ，且对于扩散过程和漂移过程分别有

$a(.,.):[0,T]\times R^m\rightarrow R^m,b(.,.):[0,T]\times R^m\rightarrow R^{m\times d}$ 为可测函数，

满足 $\left| a(s,x)+b(s,x) \right|\leq C(1+|x|),x\in R^m,s\in[t_0,T]$ ,

其中 $C, L$ 为有界常数，令 $\Phi$ 为独立于由 $W_s,s\geq0$ 产生的 $\sigma$ 代数 $F$ ，使得

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$E\left[ |Z^2| \right]<\infty$ 。

则上述随机微分方程存在唯一的连续解，其中 $X_0\in\Phi$ ,并且我们还知道

$X_t$ 适应于 $\Phi$ 和 $W_s,s\leq t$ 产生的域流 $F_t^\Phi 且 E\left[ \int_{0}^{T}|X_t|^2dt \right]<\infty$ 。

结合伊藤公式的一般形式的随机算子表示

对于 m 维扩散过程和 d 维的维纳过程，且

$\varphi(t,X)\in C^{2,1}\left( [0,T]\times R^m \right)$ ，定义算子

$L^0\varphi,L^j\varphi 从 [0,T]\times R^m\rightarrow R^m$ :

$L^0\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\sum_{k=1}^{m}{\frac{\partial\varphi}{\partial x_k}a_k+\frac{1}{2}\sum_{q=1}^{d}{\sum_{l,k=1}^{q}{\frac{\partial^2\varphi}{\varphi x_k\varphi x_l}b_{l,q}b_{k,q}}}},L^j\varphi$

$=\sum_{k=1}^{m}{\frac{\partial \varphi}{\varphi x_k}b_{k,j}}$ 。

二：方程的数值解格式

伊藤展开

使用上述随机算子后，对于含任 $d$ 为维纳过程的 $\varphi(t,X)\in C^{2,1}\left( [0,T]\times R^m \right)$ ，并且在时间 $t_n$ 处展开，由伊藤公式我们有如下积分形式为：

$\varphi(t_{n+1},X_{t_{n+1}})=\varphi(t_{n},X_{t_n})+\int_{t_n}^{t_{n+1}}L^0\varphi(s,X_s)ds+$

$\sum_{j=1}^{d}{\int_{t_n}^{t_{n+1}}L^j\varphi(s,X_s)dW_s^j}$ ,

为了简化模型，我们对上述的只含一维维纳过程的 \varphi(.,.) 继续使用伊藤公式可得：

$\varphi(t_{n+1},X_{t_{n+1}})=\varphi(t_{n},X_{t_n})+$

$\int_{t_n}^{t_{n+1}}\left[ L^0\varphi(s,X_{s})+\int_{t_n}^{s}L^0L^0\varphi(\tau,X_{\tau})+\int_{t_n}^{s}L^1L^0\varphi(\tau,X_{\tau})dW_\tau\right]ds +$

$\int_{t_n}^{t_{n+1}}\left[ L^1\varphi(s,X_s)+\int_{t_n}^{s}L^0L^1\varphi(\tau,X_\tau)d\tau +\int_{t_n}^{s}L^1L^1\varphi(\tau,X_\tau)dW_\tau\right]dW_s$ .

PS:只要上述 $\varphi(.,.)$ 函数足够光滑，我们可以继续展开，可以得到更多的复杂高阶数值格式！

收敛阶的定义

给定时间分割 $0=t_0<t_1<...<t_{N-1}<t_N=T$ ，假设 $\Delta t =t_{n+1}-t_n$ ,

$\Delta W_n=W_{t_{n+1}}-W_{t_n}(n=0,1,2,...,N)$ ,

且存在光滑函数 $G\in C_p^{2(\beta+1)}$ 和正常数 $C$ 满足不等式

$\left| E[G(X_t)-G(X^N)] \right|\leq C\left( 1+E[|X_0|^b] \right)(\Delta t)^\beta$ ,

其中 $\beta,b\in N$ ,则 $X^N$ 以阶数 $\beta$ 弱收敛于 $X_T$ . 当然有弱收敛就有强收敛，当我们不以整个轨迹误差取期望再绝对值，取而代之的是以每个点的绝对误差取期望后，就是我们的强收敛误差要求，高阶强收敛格式更加复杂，条件更加苛刻，阶数可以是0.5的倍数关系。

经典数值格式介绍

设初始条件 $X_0$ 已知，对于 $0\leq n\leq N-1$ ，对于 $m$ 维的伊藤过程的第 $k$ 个分量，我们有如下格式：
1：欧拉格式（弱1.0阶，强0.5阶）：

$X^{n+1}_k=X_k^n+a_k\Delta t+b_k\Delta W_n$

2：米尔斯坦格式（强弱都是1.0阶）：

$X^{n+1}_k=X_k^n+a_k\Delta t+b_k\Delta W_n+\frac{1}{2}L^1b_k\left( (\Delta W_n)^2-\Delta t \right)$

3：弱二阶格式：

$X^{n+1}_k=X_k^n+a_k\Delta t+b_k\Delta W_n+\frac{1}{2}L^1b_k\left( (\Delta W_n)^2-\Delta t \right)+\left( b_k+\frac{1}{2}\Delta t(L^0b_k+L^1a_k)\Delta W_n \right)+\frac{1}{2}L^0a_k(\Delta t)^2$

三：实验模拟

我们以几何布朗运动 $X_t=aX_tdt+bX_tdW_t$ ，只要简单的对 $ln(X_t)$ 使用伊藤公式，就可得此模型真解为 $X_t=X_0exp[ (a-\frac{1}{2}b^2)t+bW_t ]$ ，所以在实验中能清楚地比较真解和数值解的误差结果，正向随机微分方程经典模型还有 $O r n s t e i n - U h l e n b e c k$ 过程 $X_t=a(\mu-X_t)dt+bdW_t$ 等，也是存在真解的，但实验内容是跟几何布朗运动完全一致的。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']##中文乱码问题！
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#横坐标负号显示问题！

def schemes(a,b,names):
    logtimels = []
    logerrorls = []
    CRls = []
    msg = '''
                        1：exp函数
                        2：sin函数
                        3：原函数的3次方
                        4：原函数
                '''
    print(msg)

    ##定义初始化内容
    choose = int(input('请选择g(x)函数：'))
    echoes = 100
    time_ls = [8,16,32,64,128]
    error_ls = []
    value_matx = np.zeros((echoes,len(time_ls)))

    Euler = 'y + a * dt * y + b * y * dwt_temp'
    Milstein = Euler + ' + 0.5 * b * b * y * (dwt_temp * dwt_temp - dt)'
    weak_2_order = Milstein + ' + 0.5 * a * a * y * dt * dt + 0.5 * dt * (b * a * y + a * b * y) * dwt_temp'
    schemes_ls = [Euler,Milstein,weak_2_order]

    for s,n in zip(schemes_ls,names):
        for e in range(echoes):
            for i in range(len(time_ls)):
                x0 = 1##SDE真解初始值
                y = 1##数值格式初始值
                T = 1
                N = time_ls[i]
                dt = 1 / N
                yt = []
                dwt = np.random.normal(0,1,N) * np.sqrt(dt)
                Wt = np.cumsum(dwt)

                ###真解
                WT = Wt[N - 1]
                vtemp = x0 * np.exp((a - 0.5 * b * b) * T + b * WT)
                xT = 0
                if choose == 1:
                    xT = np.exp(vtemp)
                if choose == 2:
                    xT = np.sin(vtemp)
                if choose == 3:
                    xT = np.power(vtemp,3)
                if choose == 4:
                    xT = vtemp

                ##数值格式解
                for j in range(N):
                    dwt_temp = dwt[j]
                    y = eval(s)
                    if choose == 1:
                        yt.append(np.exp(y))
                    if choose == 2:
                        yt.append(np.sin(y))
                    if choose == 3:
                        yt.append(np.power(y,3))
                    if choose == 4:
                        yt.append(y)
                error_temp = yt[N - 1] - xT ##真解与数值解末端值作差
                error_ls.append(error_temp)
            value_matx[e,:] = error_ls
            error_ls = []
        error_fin = np.abs(sum(value_matx) / echoes)##弱收敛最终求期望
        log_time = np.log(1 / np.array(time_ls))
        log_error_fin = np.log(error_fin)
        CR = np.polyfit(log_time,log_error_fin,1)##一次多项式拟合
        print('\033[1;36m{0:*^80}\033[0m'.format('计算结果'))
        print('格式%s的相对误差为：%s'%(n,np.round(error_fin,6)))
        print('格式%s的弱收敛阶为：%s'%(n,round(CR[0],6)))
        logerrorls.append(np.round(log_error_fin,6))
        logtimels.append(log_time)
        CRls.append(round(CR[0],6))
    return logtimels,logerrorls,CRls

mu = 1##漂移系数
sigm = 0.05##扩散系数
scheme_names = ['Euler', 'Milstein', 'weak_2_order']
R = schemes(mu,sigm,scheme_names)

在这里插入图片描述

图1

在这里插入图片描述

图2

在这里插入图片描述

图3

marker_ls = ['-*','-o','-^']
def make_figure():
    plt.figure(figsize=(8, 6))
    for i,j,k,l,m in zip(R[0],R[1],R[2],scheme_names,marker_ls):
        plt.plot(i,j,m,label=l)
    plt.plot(np.array([-4,-3]),np.array([-4,-3]) + 1,'--',label='slope=1')
    plt.plot(np.array([-4, -3]), 2 * np.array([-4, -3]) - 1.5,'--',label='slope=2')
    plt.xlabel('stepsize logN')
    plt.ylabel('log(|E(Y_T-X^N)|)')
    plt.legend()
    plt.show()
make_figure()

在这里插入图片描述

图4

四：总结

经典的正向随机微分方程数值格式和收敛阶的模拟大致如上，但最开始也提到过，由正向衍生出来的各种方程在如今是非常多的。与正向相对性的倒向随机微分方程也是一个大类研究方向，今后如果有机会，作者还会发布些关于倒向随机微分方程的数值模拟，感兴趣的朋友希望点赞关注加收藏啦！

在这里插入图片描述