本篇目录
前言
本篇梳理数据结构中 “树” 这一部分的概念、遍历、应用（各种算法）等。
一、概念
【1】树
1.树是一种逻辑结构，也是一种分层结构。根节点没有父节点，叶子结点没有子结点。
2.有序树：树的左右子树不能互换。
3.树的高度：树的层数。
4.树的结点数 = 树的边数 + 1 。（每一个结点都有一条边连接父结点，除了根节点。）
5.树的路径长度 = 树到每个结点的路径总和。
6.树的度：树中结点的最大度数
【2】二叉树
1.二叉树：树的度≤2 。
2.满二叉树：叶子结点都在最下边一层，其余结点度为2 。
3.完全二叉树：该树所有结点的编号与对应满二叉树的结点编号一致，但比满二叉树少了最后几个结点。
4.二叉排序树：任意结点的关键字，大于左子树所有结点的关键字，小于右子树所有结点的关键字。
5.平衡二叉树：任意结点，左右子树深度只差≤1 。
6.二叉树的性质： n0 = n2 + 1 ，即叶子结点数 = 度为2的结点数 + 1 。
二、树和森林
1.树的存储结构
1.双亲表示法（顺序存储）
2.孩子表示法（结点以数组顺序存储，每个结点有子结点单链表）
3.孩子兄弟表示法（二叉树表示法，以二叉链表作为存储结构）
2.树、森林与二叉树的转换
树的左子结点转为二叉树的左子结点，树的右边第一个兄弟（最近的）转为二叉树的右子结点。
3.树的应用：并查集
以树来存储集合，支持集合的合并等操作。
二、二叉树的存储结构
1.顺序存储
使用数组来存储二叉树，适用于存储满二叉树与完全二叉树。最好从下标1开始，这样，数组下边就能反应结点之间的逻辑关系，T[i] 结点的子结点是T[2i] 和 T[2i+1] 。如果不是完全二叉树或满二叉树，为了反映这种逻辑关系，就要添加一些空结点（该角标对应的值为0），但这样就会造成空间浪费。
2.链式存储
二叉树一般都采用链式存储（使用二叉链表）。一个结点的结构包含 左指针域、数据域、右指针域，左右指针域分别指向该结点的左右子结点。如果某结点没有左子结点或右子结点，那么对应的指针域就为空。在线索二叉树中，这些空的指针域被用来指向该结点的前驱结点和后继节点（前驱与后继的判断是依据二叉树的遍历策略决定的）。
性质：在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域。（每个结点有2个指针域，所以整个表共有2n个指针域，而作为子节点被指向的一共有n-1个。）
三、二叉树的遍历
1.先序、中序、后序的递归遍历
遍历就是访问树中所有结点，首先来考虑递归算法，即递归地将每个结点看作根节点，访问自身、左子结点、右子结点。对于每个节点来说，自身、左子结点、右子结点最终都要被访问，只是访问的顺序可以有不同，这种访问顺序的不同就产生了先序遍历（根左右）、中序遍历（左根右）、后序遍历（左右根）三种遍历方式，但是其本质原理都是相同的。下面通过代码来演示。
//先序遍历、中序遍历、后序遍历 的递归算法
void VisitTree(BiTree T){
if(T!=NULL){ //若树非空
visit(T); //1.先序遍历
VistiTree(T->lchild); //访问左子结点
visit(T); //2.中序遍历
VisitTree(T->rchild); //访问右子结点
visit(T); //3.后序遍历
}
}实际上访问结点自身的代码（ visit(T) ）只需要出现一次，如果出现在位置1，那么就是先序遍历，如果出现在位置2，那么就是中序遍历，如果出现在位置3，那么就是后序遍历。由此可见，这三种遍历方式的递归算法，仅仅只是在访问顺序上有所不同。
时空复杂度
显然，无论是先序、中序、后序，它们只是访问顺序不同（visit(T); 这句代码的位置不同），时空复杂度是一致的。因为要访问n个结点，每个结点都递归调用一次，就需要一块栈空间。所以，递归算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n) 。
2.层序遍历
在 《【考研·数据结构】 图 小结》 中总结过，树是一种特殊的图，二叉树的先序遍历就相当于图的深度优先搜索（DFS）。树是一种分层结构，因此还可以按层进行层序遍历，这相当于图的广度优先搜索（BFS）。层序遍历的原理就是优先将所有能找到的结点都先加入队列中暂存，之后再逐个从队列中取出元素进行访问。这种策略与 图 那部分举的吃火锅需要一个盘子的策略是相同的。
//二叉树的层序遍历
void LevelOrder(BiTree T){
InitQueue(Q); //辅助队列
BiTree p; //定义一个二叉树结点p，用于指向出队的结点
EnQueue(Q,T) //将根结点入队
while(!isEmpty(Q)){
DeQueue(Q,p); //出队一个元素
visit(p); //访问
if(p->lchild!=NULL)
EnQueue(Q,p->lchild); //若左子结点存在，则将其入队
if(p->rchild!=NULL)
EnQueue(Q,p->rchild); //若右子结点存在，则将其入队
}
}3.先序、中序、后序非递归遍历
除了递归算法外，先序、中序、后序也可以有非递归算法，主要通过栈来辅助实现。
1.先序遍历的非递归算法
思路：从根结点开始，一路向左（深度优先），每遇到一个结点就访问并入栈（入栈是因为之后还要访问这个结点的右子结点），然后访问左子结点，直到访问到底部（左指针域为空的结点） ，说明左子树这一支访问完毕。之后出栈一个结点，这个结点能在栈中说明它自身已经被访问过，并且左子树已经访问完毕，于是现在访问它的右子结点。等到最右下方的结点被访问完毕，那么此时栈空，树也遍历完成。
//先序遍历 非递归算法
void PreOrder(BiTree T){
InitStack(S); //辅助工作栈
BiTree p = T; //p是遍历指针，初始指向根节点
while(p || !isEmpty(S)){
if(p){ //如果当前指针不空，就一路向左
visit(p); //先访问结点自身，然后去找左子结点
Push(S,p); //将自身节点入栈，因为待左子树访问完毕，还要去访问右子树
p = p->lchild; //去访问左子结点
}
else{ //若p指向NULL，则p结点的父节点一定没有左子结点
Pop(S,p); //将栈顶元素出栈，因为以后用不到这个结点了
p = p ->rchild; //转向右子树
}
}
}2.中序遍历的非递归算法
先序与中序的算法本质上是相同的，区别就在于访问某结点自身的时间，是在初次遇到时就访问然后入栈，还是在访问完左子树并将该结点出栈后再访问。对于这种区别，我在代码中做了标注。
//中序遍历 非递归算法
void PreOrder(BiTree T){
InitStack(S); //辅助工作栈
BiTree p = T; //p是遍历指针，初始指向根节点
while(p || !isEmpty(S)){
if(p){ //如果当前指针不空，就一路向左
//visit(p); //*********这句代码如果写在这里，就是先序遍历******************
Push(S,p); //将自身节点入栈
p = p->lchild; //去访问左子结点
}
else{
Pop(S,p); //将栈顶元素出栈，
visit(p); //**********在这里访问自身结点，那么就是中序遍历***********
p = p ->rchild; //转向右子树
}
}
}3.后序遍历的非递归算法
后序遍历比先序和中序复杂一些，因为要使用一个辅助指针（记录最近访问的结点），来判断当遍历工作指针指向NULL时，是从左子树还是右子树返回的。如果是从左子树返回的（即r≠右子结点）且右子树不空，那么就去访问右子树，这里要注意将右子结点压入栈；如果是从右子树返回的，那么就出栈，访问一下结点自身，然后将工作指针p指向NULL（这是因为，已经访问完的结点，就可以当做空结点，直接向上返回，从而不会被再次访问），就可以了。
//后序遍历的非递归算法
void PostOrder(BiTree T){
InitStack(S); //辅助工作栈
BiTree p = T; //遍历指针，初始时指向根结点
BiTree r = NULL; //辅助指针，指向最近访问过的结点
while(p || !isEmpty(S)){
if(p){ //若当前指针不空，就先去访问左子树
push(S,p);
p = p->lchild;
}
else{ //若当前指针为空，则可能从左子树返回，或从右子树返回
GetTop(S,p); //获取栈顶元素（不出栈）
if(p->rchild && p->rchild!=r){ //若右子树存在且未被访问过
p = p->rchild; //去访问右子树
push(S,p); //将右子结点压入栈
p = p->rchild; //将右子结点作为根节点开始新一轮访问
}
else{
pop(S,p); //左右子树都已访问完，现在弹出结点并访问
visit(p);
r=p; //记录访问状态
p = NULL; //已访问完的结点，就视作空结点，继续向上返回
}
}
}
}4.根据遍历序列确定二叉树
（中序、先序）（中序、后序）（中序、层序）这三种组合中的每一种，都可以根据序列都可以确定一棵二叉树。
4.线索二叉树
1.概念
二叉链表仅能方便地找到一个结点的子结点，但是不能体现在遍历中的前驱和后继结点。而二叉链表中又有不少空链域，于是想到对结点结构加以改造，形成线索二叉树。
线索二叉树的结点结构是：[ lchild ltag data rtag rchild ]，其中ltag 与 rtag 为0时表示对应指针域指向子结点，为1时表示对应指针域指向当前结点的前驱/后继结点（这时的指针即为线索）。这就是使用线索链表存储的线索二叉树。
2.线索二叉树的构造
二叉树的线索化，即通过一次遍历，将二叉树对应链表中的空指针指向结点的前驱/后继结点。有时也可以添加一个头结点，头结点的左指针域指向根结点。
3.线索二叉树的遍历
首先找到第一个要访问的结点，然后判断 ltag，若有后继结点的线索，就直接去访问后继结点，若没有，就按照正常逻辑找到后继结点。
四、二叉树的应用
1.二叉排序树
遵循左小右大原则。插入的一定是叶节点。
2.平衡二叉树
任意结点的左右子树高度差≤1 。
【1】插入新节点
插入新节点导致不平衡，之后应当进行调整，以保持平衡二叉树的性质。
1.LL插入，则右转
2.RR插入，则左转
3.LR插入，则先左转后右转
4.RL插入，则先右转后左转
【2】查找效率
平衡二叉树的平均查找效率（决定于树的高度）为O(log n) 。
3.哈夫曼树
1.某结点的带权路径长度 = 从根节点到该结点的路径长度（边数） * 该结点的权值 。
2.树的带权路径长度WPL = 该树所有叶节点的带权路径长度 。
3.WPL最小的树即为哈夫曼树
构造哈夫曼树的方法：所有结点看作一棵孤立的树，取权值最小的两个结点，新建一个结点作为它俩的父结点，并将这个父结点的权值设置为两个子结点的权值之和。之后不断重复这个过程，直到所有结点形成一棵树。这就是哈夫曼树。
4.哈夫曼编码
前缀编码：没有一个编码是另一个编码的前缀。以每个字符作为一个独立结点，以字符出现的频率作为权值，构造哈夫曼树（指向左子树和右子树的边分别用0和1来标记，也可以倒过来）。则从根节点到每个叶节点的路径即为这个字符的编码。最终WPL可视为二进制编码的长度。
4.B树（多路平衡查找树）
1.B树
m阶B数，是一棵最大允许度为m的树，用于查找。从上向下，不断细化查找范围，比如某结点中有（2,9）两个关键字，那么就对应有三棵子树，三棵子树中的关键字取值范围分别为（0,2）、（2,9）、（9，x）。（这个x的意思是，这个值还要受其它结点的约束。）也就是说，在一棵m 阶的B树中，一个结点最多能有(m-1)个关键字，这样它就有 m 棵子树。
B树的根结点要么是终端结点，要么至少有两棵子树（要是只有一颗子树，那就没有“不断细化查找范围”的意义了啊）。非根结点、非叶结点的结点，子树的数量[ ┌m/2┐-1 ，m ] 。
B树的所有叶结点都在同一层上，也就是B树所有结点的平衡因子为0 。
2.B树插入
插入一定是在叶结点中，若插入后导致关键字数量溢出，就要进行结点分裂。分裂方法是：左归左，右归新，中间顶上去。
3.B树删除
（1）若删除后叶结点的关键字数量符合要求，则直接删除即可。
（2）若删除后叶结点关键字数量低于要求，但兄弟结点有富余，则调整方法为：近兄上位，父下台。
（3）若删除后叶结点关键字数量低于要求，且兄弟结点也无富余，则调整方法为：近兄不上位，父落近兄家。
5.B+树
B+树是一种变形的B树。
对比 B树与B+树
| B树 | B+树 | |
| 结点内关键字数量与子树数量的关系 | n个关键字对应n+1棵子树 | n个关键字对应n棵子树 |
| 非根非叶结点中关键字个数范围（理解为子树数量要对m过半） | [┌m/2┐-1, m-1 ] | [┌m/2┐, m ] |
| 根结点内关键字个数范围（理解为至少有2棵子树，最多不超过m棵子树） | [1,m-1 ] | [1,m] |
| 查找路径 | 所有结点包含的关键字不重复，要是找到叶结点还没成功，那就是查找失败了 | 叶结点包含了所有的关键字，非叶结点仅起索引作用，因此无论查找成功与否，每次查找都是一条从根到叶的路径。 |
| 查找方式 | 包含两个操作：（在磁盘上）在B树中找结点并读入内存；（在内存中）在结点内用顺序查找或折半查找来找关键字 | 叶结点形成升序链，既可以实现升序的顺序查找，又可以实现从根结点到叶结点的查找。 |
| 共同点 | 1.每个结点的平衡因子为0 2.根结点的子树数量为[2,m] 3.所有非叶非根结点的子树数量为[┌m/2┐, m ] 。 |
|
对于B树来说，可以在任何一个结点查找成功，要是找到叶结点还没成功，那就是查找失败了。对于B+树来说，非叶结点仅仅是索引，叶结点也包含关键字信息，因此无论查找成功与否，每次查找都是一条从根结点到叶结点的路径。
总结
本文总结了数据结构中 “树” 这一部分的概念、遍历、应用（各种算法）等。