由于最近做了几道单调数据结构，有点感慨，来做个小结。
单调数据结构这里主要指单调队列、单调栈两个。

基本特征

在队列/栈的基础上增加了“单调性”这一要求。即保持数据结构中的元素按某种值的大小顺序单调。

由于栈/队列的插入规则不能变，又要让元素能成功插入，所以要保持单调性，它们只能丢弃原有的某些信息 来维护单调性。

单调栈

保持单调性的方法：插入元素时，如果当前顶端和即将插入的元素之间单调性冲突，则将顶端pop，直到栈空或者顶端符合单调性。

例1-模拟

给定 $n$ 个整数
依次放入“保持从顶到底递减”的单调栈中，要求输出单调栈最后的形态，按照“自顶向下”顺序输出。

例如：将 1 4 2 3 5 7 压入上述的单调栈，
1、4进入，都没有破坏单调性，2要进入，但是2作为栈顶会大于4，所以4要弹出，2进入
这样插入完，自顶向下的最终形态就是 7 5 3 2 1。

理解完单调栈的工作模式，接下来来看看它的应用

例2 - 单调栈的应用

给定 $n$ 个整数 $a_i$ ，对于每个数，求一个最小的整数 $k$ ，使得 $a_{i+k} \ge a_i$ 。如果不存在输出-1。 $n \le 100000$ 。

例2解答

暴力的话对于每个数往右找，复杂度平方。
我们想想重复枚举了什么？对于 $a_{i-1}$ 枚举过的数，我们在处理 $a_i$ 时很可能又把它枚举了一遍，这就浪费了。
我们要利用问题的单调性质。你找到一个数 $a_{i+k} \ge a_{i}$ 的话，比 $a_{i}$ 小的那些元素的答案也都可能是这个。
因此我们维护一个单调栈，如对于序列 5 4 2 1 3 2 4

首先5入栈，4比5小，4入栈，同理2入栈，1入栈
遇到3时，3比栈顶1大，因此 $ans_4=1$ ，求完后将1弹出，发现3比栈顶2大，因此 $ans_3=2$ ，弹出2，发现4比3大，3入栈（由于栈是单调的，4大于3，那么在4下面的栈的元素一定都大于3）
2入栈，比3小
4入栈，比2大， $ans_6$ =1，2出，比3大， $ans_5=2$ ，3出，大等于4， $ans_2=5$ ，比5小，4入栈
找不到剩下的数了，栈内的元素都找不到到答案，赋值为-1

由于每个元素都进出栈一次，是线性的复杂度。
体会到优化在哪了吗？感觉就像“带着一堆元素一起往右移动”，遇到一个门槛就会被筛掉一些一样hhh。

单调队列

那单调队列比单调栈多了什么呢？可以这样理解，单调队列是单调栈的“升级”。
我们知道，队列不但允许在尾端插入，也允许在头端删除。而单调队列是一种特殊队列，它支持“尾端插入、删除”，“头端删除”。只考虑尾端的话，它和单调栈一毛一样。但是它多了“头端删除”。
如果当前队列的“头”超出了问题规模，可以将头扔掉。这就是单调队列更高明之处。

例3 - 滑动窗口问题-单调队列应用

有一个长度为 $n$ 的数列，求所有长度为 $m$ 的区间中的最大值和最小值，按区间左端点的大小顺序输出。
$m\le n \le 100000$ 。

例3解答

暴力复杂度 $O(nm)$ ，和刚刚那个例题一样也有很多重复状态，我们想想是否能优化。
对于每个区间，如果我们能极快地将这个区间保存为有序数列，那么直接输出两端点即可，但是这样每次加入排序都是 $O(m\ log\ m)$ 的，有没有什么办法能不要“每次都加入排序”呢？
因为只关心最值，我们便想到单调数据结构。比如我们用两个单调栈，一个递增，一个递减。
我们把数列的前 $m$ 个数塞进这俩单调栈里，然后输出这两个栈的栈底，OK第一个区间搞定，接下来是第二个区间，这个区间只比第一个区间多了右边一个数，少了左边一个数。多了数好说，直接塞进单调栈里更新就完了，少了怎么办？单调栈能删除指定的元素嘛？
那如果少了的元素不删会怎么样？
假设第一个区间最小值刚刚好是1号元素，到第二个区间了，新加的元素仍不比1号元素大，那么1号元素还是在栈顶，你会输出一个不存在在第二个区间的最小值。
那我看到栈底已经不属于范围了，难道我就眼睁睁的看着它被输出，不能把它删掉然后输出下一个栈底吗？
可以是可以，但它已经不叫单调栈了，单调栈只能从栈顶操作，对栈底是不能动的。
但是单调队列可以。单调队列中，“栈底”“栈顶”改名叫“队首”“队尾”了。
对于这题，我们每次维护一个单调队列，新加一个元素，就按照单调栈的规则插到队尾，然后如果队首不在范围内，删除队首，直到遇到范围内的队首。
由于每个元素进出队一次，复杂度也是线性的。

总结

为什么单调栈和单调队列能优化效率呢？
不要只看复杂度分析里的“进出栈/队一次”，
其本质原因就是，它们都 舍弃了一些信息 。
而这些信息，是完全没贡献，或者能被更优的元素完全继承它的信息。
比如例2，我们发现较小的元素是可以跟着较大的元素走的，因为“比较大元素还要大的元素是较小元素答案的边界”。
要维护单调性，就要扔掉一些元素，这些元素恰好是已经处理完了的。
所以遇到“区间”、“最值”这样的东西，单调数据结构有可能会帮上你一把。

单调数据结构小结