功率谱估计的方法
引言
在信号处理的很多场所，需要预先知道信号的功率谱密度，如维纳滤波器的设计，信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变换关系
对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均可以用时间平均来代替，再通过傅里叶变换，即可求得自相关谱的统计值
经典谱估计方法：
- 间接法：自相关法(BT)法
- 直接法：周期图法,Barlette平均周期图法、窗口处理法平均周期图法、修正的周期图取平均(Welch)
现代谱估计方法
- 参数法：ARMA模型法
- 非参数法：谐波分解法、多分量法
AR模型谱估计
- 信号预测误差最小原则
- 自相关法(Levison递推法)：运算量小，但分辨率受窗长度限制
- Burg法：可用改进的Levison递推法，分辨率高，但对正弦信号存在谱线分裂和偏移
- 协方差法：去除了自相关法加窗的不合理假设，分辨率高，运算量较大
- 修正协方差法：分辨率高，较Burg法改善了谱线分裂和偏移，但运算量大
- 最大熵原则-最大熵谱估计方法
传统谱估计
BT法
先估计自相关函数，进行傅里叶变换得到功率谱
周期图法
直接对序列进行傅里叶变换后取模的平方在取1/N倍，利用有偏自相关函数的BT法和周期图法是等价的
周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角窗函数谱，因此周期图是有偏估计，但渐进无偏。
问题：模糊和泄露，功率谱间隔小于1/N的谱峰无法分辨
周期图法的均方误差很大，是非一致估计，性能差
Barlette平均周期图法
对序列x(n)进行L次独立观测或将其分成L段，计算每组观测数据的周期图，再进行求和平均
减小了估计的方差和均方误差，但是分辨率降低了
窗口处理法平均周期图
用以适当的功率谱窗函数W(e^jω )与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的，要求窗函数大于0
仍然是有偏估计，也是用降低分辨率换取估计方差的减小
修正的周期图求平均法(Welch法）
对Barlette法进行修正，使之更适合FFT计算，通过选择适当的窗函数，在周期图计算前直接加进去
计算方法：
1. 数据分成L段
2. 把窗函数w(n）加到每一数据段上，求出每一段的周期图，形成修正的周期图
3. 再对每一个修正的周期图进行平均
这种估计是渐进无偏的，对窗函数无限制，分段时，为了减小分段带来的影响，可以使各段重叠50%
现代谱估计
截断效应：必然存在，因为实际信号不可能无限长
经典谱估计的问题
- 经典谱分析假设有限长序列以外的信号为0，相当于给信号加了一个矩形窗，根据卷积定理，时域乘矩形窗，相当于频域卷积了sinc函数，从而导致了分辨率的降低
- 认为不同频点功率谱是独立的，没有利用功率谱在频域的相关性信息
解决方案：根据已观察的数据，选择一个正确的模型，认为x(n)是由白噪声通过此模型产生的，那么就不必认为N个点以外的数据为0了
实现步骤
- 模型选择
- 根据观测数据和有限个自相关函数估计值，估计模型参数
- 基于此模型，计算功率谱
模型选择
- 对于有尖峰的谱，应该选用有极点的模型，如AR模型和ARMA模型
- 对于有平坦的谱峰和深谷的信号，选用MA模型
- 对于既有零点又有极点的谱，选用ARMA模型
选择好模型后，还应该尽量减少模型的参数
AR模型谱估计
自相关法
自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测功率误差最小，采用Levison-Durbin递推方法计算yule-Walker方程。
该方法需要基于有限的观测数据估计自相关序列，当数据长度较短时，估计误差会较大，AR参数的计算就会引入较大的误差，从而导致功率谱出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。
Burg递推法
直接由时间序列计算AR模型参数的方法，求前后预测误差平均功率最小时的反射系数，从而求AR模型参数a_k 和σ_w^2
该方法避免了采用有限数据估计自相关函数的计算，适合短序列参数估计，克服了L-D递推中的某些缺点，计算量小。但对于正弦信号的谱估计，仍然存在某些谱线分裂与频率偏移现象。
协方差法
利用使预测误差功率最小的方法求模型参数
该方法使用的观测数据都已经得到(误差统计从p开始而不从0开始)，不需要在数据两端补充零点，因此较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设，估计得到的谱在谱线分裂和频率偏移时较Burg法有较大改善
修正协方差法
修正其协方差法使用前向和后向预测误差平均值最小的方法，估计AR模型的参数，进而估计信号的功率谱。
该方法提高了协方差估计精度，估计得到的谱在谱线分裂和频率偏移时较协方差法有进一步改善，该方法也适用于非平稳信号。
最大熵谱估计
采用最大熵原则，外推自相关函数方法估计信号功率谱，它基于将已知的有限长度自相关以外的数据通过外推方法求得，而不是把他们当做0
当随机变量X取离散值时，熵的定义为
特征分解法谱估计
该方法特别适用于对多正弦加白噪声序列进行谱分析，可以得到比Ar模型法更高的分辨率和更准确的频率估计，尤其在信噪比低的时候更有效。
估计思想：将白噪声加正弦波作为一特殊的ARMA模型，用特征方程求它的参数，计算出正弦波的频率