如何理解协方差协方差

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协方差代表的意义是什么?

在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，大致有下列3种情况：

情况一,如上, 当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大 Y 也越大， X 越小 Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。

情况二, 如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，这种情况，我们称为“负相关”。

情况三,如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X 越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，这种情况我们称为“不相关”。

怎样将这3种相关情况，用一个简单的数字表达出来呢？

在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在图中的区域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；

在图中的区域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在图中的区域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。

当X 与Y 正相关时，它们的分布大部分在区域（1）和（3）中，小部分在区域（2）和（4）中，所以平均来说，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。

当 X与 Y负相关时，它们的分布大部分在区域（2）和（4）中，小部分在区域（1）和（3）中，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)<0 。

当 X与 Y不相关时，它们在区域（1）和（3）中的分布，与在区域（2）和（4）中的分布几乎一样多，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)=0 。

所以，我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征，也就是协方差

cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)

当 cov(X, Y)>0时，表明 X与Y 正相关；

当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；

当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。

这就是协方差的意义。

关于协方差矩阵的解读

协方差矩阵实在是太重要了，无论是在计量，金融工程还是随机分析中，我们都会到用到协方差矩阵。

其实，这三者都利用了协方差矩阵本身的含义，即随机变量之间的线性相关关系（当然，相关系数矩阵在此处更为贴切），也利用了协方差矩阵为半正定矩阵的性质。下面具体道来，

首先，我们先要分析一下协方差矩阵 $\Sigma$ 的性质。作为实对称矩阵，其主要性质之一就是可以正交对角化，即存在正交矩阵U，使得

$U^T\Sigma U=\Lambda$

作为半正定矩阵，我们可以对协方差矩阵进行Cholesky分解：半正定矩阵 $\Sigma$ ，可以分解为 $\Sigma=U^T \Lambda U$ ，其中 $U$ 是上三角阵， $\Lambda$ 是对角线元素都非负的对角矩阵。所以

$\Sigma=U^T \Lambda U=[U^T \Lambda^{1/2} ][\Lambda ^{1/2} U]=[\Lambda ^{1/2} U] T [\Lambda ^{1/2} U]$

这样一来，矩阵 $\Sigma=C^TC$ ，其中 $C=\Lambda^{1/2}U$ 。

上面的铺垫工作完成，下面具体分析其应用，

1.在金融随机分析和金融工程中的应用
在金融随机分析中我们可以采用Monte Carlo方法对期权进行定价，如果对于普通的欧式期权，那么我们只要产生N个正态分布的随机数即可。但是，对于那些依赖于多个相关随机过程（Correlated Brownian Motion）的资产的定价，我们就要产生满足特定相关关系的随机变量，而这正是依靠协方差矩阵和上面所述的Cholesky分解完成的。比如，Quanto（Quantity Adjusting Option）双币种期权就是满足上述特征的期权。这里我复制我的BLOG中的一段，
Quanto Nikkei Option. Consider a Nikkei quanto into dollar call option. Assuming both the USD/JPY and Nikkei are both lognormal process, i.e.

$\dfrac{dS_t}{S_ t}=\mu dt+\sigma dW_ t$

如何理解协方差协方差

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