算法入门之动态规划（Python）【初级算法——动态规划】【力扣练习】【蓝桥杯练习】

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一、爬楼梯（简单）

题目：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶

示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

提示：
1 <= n <= 45

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

分析：
我们按照动态规划的一般解题步骤：

1. 定义数组并确定其元素含义：本题我们可以定义一个一维数组，用于存放到当前的位置有多少种走法。
2. 找出数组元素间的关系，确定关系式：由题可知，有两种走楼梯的方式，1步和2步，所以到达当前位置有两种可能，从第 i - 1 格或第 i - 2 格跳上来的。即到达当前格子的走法数等于前一格的走法加上前两格的走法。即 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. 确定初始值。这道题的初始值很好确定 dp[1] = 1, dp[2] = 2

代码：

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [i for i in range(n + 1)]
        for i in range(4,n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

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二、买卖股票的最佳时机（简单）

题目：
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：
1 <= prices.length <= 10⁵
0 <= prices[i] <= 10⁴

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock

分析：
这道题我没有用第一题那种动态规划常规解法，但是也包含了动态规划的思想在里面。遍历 prices，取得到达当天股票的最小值作为购入值，当天的价格为卖出值，求出当天利润，同时与上一次的利润最大值比较，保留大的。循环结束，输出利润即可。

代码：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        a = float('inf')
        b = float('-inf')
        for i in range(n):
            a = min(a,prices[i])
            b = max(b,prices[i] - a)
        return b

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三、最大子序和（简单）

题目：
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray

分析：
这道也是比较简单的题，我们可以定义两个值 ans = nums[0], temp= 0，一个记录最大的和，一个记录当前的和。遍历数组便可得到最后的结果。

代码：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans,temp = nums[0],0
        for i in range(n):
            temp = max(temp + nums[i], nums[i])
            ans = max(ans,temp)
        return ans

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四、打家劫舍（中等）

题目：
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：
输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：
1 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 400

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/house-robber
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分析：
动态规划的一般解题步骤：

1. 定义数组并确定其元素含义：本题我们可以定义一个一维数组，用于存放到第 i 号房能够偷窃的最大金额。
2. 找出数组元素间的关系，确定关系式：由题可知，房间不能够连续偷，所以我们可以判断“到达 i - 2 号房时获得的最大金额加上当前房间 i 号房的金额的总和”与“到达 i - 1 号房偷窃的最大金额”的大小，保留大的，最后输出数组最后一个值即可。即 dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i],dp[i - 1])
3. 确定初始值。dp[0],dp[1] = nums[0],max(nums[0],nums[1])

代码：

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return nums[0]
        dp = [0 for i in range(n)]
        dp[0],dp[1] = nums[0],max(nums[0],nums[1])
        for i in range(2,n):
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i],dp[i - 1])
        return dp[n - 1]

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