Perlin noise的值域

很久之前刚接触Perlin noise一直有个疑问，就是它的值域，看网上很多资料都默认是[-1,1]，但是专门去找又说是根号2除以2，现在有时间来解决这个问题。

首先基本Perlin Noise的基本介绍不多说了，看这里的介绍：【图形学】谈谈噪声_worley噪声_妈妈说女孩子要自立自强的博客-CSDN博客

参考上面的图，假设求P点的值，Perline Noise的计算流程是：

1. 计算四个顶点处的梯度向量G

2. 计算从四个顶点到P的距离向量V，方向是周围顶点到P

3. 计算各个顶点点乘处G*V

4. P点在方框内的坐标做平滑

5. 使用4中计算的平滑后的坐标，对3中的结果做双线性插值。

根据之前的流程，可以求出各个顶点的距离向量为：

$\vec {AP} = (x,y),\vec {BP} = (x-1,y),\vec {CP} = (x,y-1),\vec {DP} = (x-1,y-1)$

目的是为了求极值，所以不需要考虑坐标平滑。我们反推一下，既然P能取极值，那么四个顶点处的G*V都需要取极值，四个顶点处的距离向量我们已经求出来了，那么很显然当梯度G的方向和距离向量V同向时G*V最大，反向时G*V最小。

现在来推导G*V最大的情况，因为此时四个顶点的G和V同向，那么G*V就等同于求四个距离向量的模，即：

$\newline \vec {\left |AP \right |}=\sqrt{x^2+y^2} ,\newline \vec {\left |BP \right |}=\sqrt{(x-1)^2+y^2} ,\newline \vec {\left |CP \right |}=\sqrt{x^2+(y-1)^2} ,\newline \vec {\left |DP \right |}=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$

再根据P(x,y)点的坐标做双线性插值，这里不具体推导了，给出结果：

$\newline P(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}*(1-x)(1-y)) + \newline \sqrt{(x-1)^2+y^2}*x(1-y)) + \newline \sqrt{x^2+(y-1)^2}*(1-x)y) + \newline \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}*xy)$

这个函数很复杂，求偏导数也很麻烦，所以这里直接把曲线画出来找极值点：

很明显函数是具有xy对称性的，并且在中间取得极大值，我们把P(0.5,0.5）带入上式，得到:

$P(0.5,0.5) = \frac {\sqrt{2}}{2}$

从而得到了正确的值域：

$P(x,y) \in = [-\frac {\sqrt{2}}{2}, \frac {\sqrt{2}}{2}]$

那么为什么很多资料认为值域是正负1呢，实际上是因为梯度向量G，按照Perline Noise的定义，这个G是需要归一化的，但总所周知归一化需要开根号，这个开销是比较大的，特别是需要实时生成大规模向量场的时候，所以在很多实际应用中，只会保证G向量的x和y都介于-1到1之间。此时意味着G的最大模变成了根号2，而不是1了，那意味着之前的计算结果都应该乘以根号2。从而得到：

$P(x,y) \in = [-1, 1],G.x\in (-1,1),G.y\in (-1,1)$

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