【GPU Gems 学习笔记】Implementing Improved Perlin Noise

柏林噪声

柏林噪声算法(Perlin Noise)是Ken Perlin在1983年提出的一种渐变噪声。和完全随机的白噪声相比，柏林噪声做到了杂乱而有序。能够更好地模拟自然界中的随机现象的复杂性和相互间的关联性，常被用于电影视觉效果。

一些细节

最原始的插值函数使用的是： $f(t) =3 t^{2} - 2 t^{3}$ ；函数的二阶导数就是一阶导数的变化率，在图形上主要表现为函数图像的凹凸性，而它的二阶导数 $6 - 12t$ 在 $t = 0$ 和 $t = 1$ 时均不等于0。那么相邻的晶格处的二阶导并不连续，使得在使用噪声的导数时，将导致出现失真的效果，例如制作凹凸贴图(凹凸贴图表面的光照效果随相应的高度函数的导数而变，所以二阶导数的不连续性是可以看见的)。
Perlin在2002发表的论文做了改进，改用5次样条做插值： $f(t) =6 t^{5} - 15 t^{4} + 10 t^{3}$ ，它在 $t = 0$ 和 $t = 1$ 处的 $1$ , $2$ 阶导数均为 $0$ 。

以三维空间为例，设三维空间中的任意一点为 $(x,y,z)$ ：空间中的晶格坐标为 $(i,j,k)$ ，其坐标都是整数；

定义一点的坐标 $(x,y,z)$ 为一个整数加上小数部分， $(x,y,z) = (i+u,j+v,k+w)$ ；
那么围绕该点的单位立方体晶格为：
$(i,j,k),(i+1,j,k),(i,j+1,k),(i,j,k+1),$
$(i+1,j + 1,k),(i,j+1,k+1),(i+1,j,k+1),(i+1,j+1,k+1)$
将计算过程中的坐标范围映射到满足上述要求的范围内，比较方便计算。

在选择晶格顶点的梯度向量的预处理阶段，我们可以借助一些随机函数，在单位正方形(二维)/单位立方体(三维)内生成梯度向量的各个分量，然后剔除那些不在单位圆(二维)/单位球(三维)内的向量，直至找到了所需数目的随机梯度向量。将得到的梯度向量存储在一个查找表 $G[n]$ 里，假设晶格的坐标 $(i,j,k)$ ，并且 $0\leq i,j,k \leq 255$ ，那么 $n = 256$ 。
照常理来说，二维下需要 $n^{2}$ 个梯度向量，三维下需要 $n^{3}$ 个梯度向量，只有 $n$ 个的情况下势必会有重复。但Perlin认为重复是可以接受的，只要它们的间距足够大就不会被察觉。
除此之外，Perlin还预先生成了一个大小为 $n$ 的随机排列数组 $P[n]$ ，里面存储的是乱序排列的0到 $n-1$ 的值。
对于三维空间中的某一点坐标 $(i,j,k)$ ，可以获取相对应的晶格： $G = G[(P[(P[i] + j)_m_o_d_ \, _ n]+k)_m_o_d_ \, _ n]$

在后续的改进中，Perlin改用12个伪随机斜率代替256个，它们由立方体的12条棱的中点组成： $(0,\pm 1,\pm 1),(\pm 1,0,\pm 1),(\pm 1,\pm 1,0)$ ，这样可以改善“污点”使其更少。

改善的原因是，相近的梯度向量如果挤在一起，使用噪声函数实现就会出现污点的情况，而12个斜率的方向是均匀分布的，不会挤在一起。
另外一点，该方法提升了运算效率，因为它可以避免乘法运算，如 $\small (x,y,z)$ 和 $\small (1,1,0)$ 的点积可以按照 $\small x + y$ 做加法。