离散数学（第二版） 第一章、第二章习题

第一章命题逻辑的基本概念

习题 1

17 题 判断论述

判断下面一段论述是否为真：“ π是无理数．并且如果3是无理数，则 $\sqrt 2$ 另外 只有 6 能被 2 整除 ，6 才能被 4 整除．”

解答：

• p: π是无理数 1
• q: 3是无理数 0
• r: $\sqrt 2$ 是无理数 1
• s:6能被2整除 1
• t: 6能被4整除0

命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

21 题 求下列公式的成假赋值

（格式丑字丑，见谅）由于是第一章节习题所以使用真值表进行计算

1. ┐(┐ p∧q)∧┐r
2. (┐ q∨r)∧(p→q)
3. (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)
   
   
   

29 题 简答题

设A,B都是含命题变项p1,p2,…pn的公式,已知A∨B是矛盾式,证明当且仅当A与B都是矛盾式。

第二章

知识储备

命题公式类型

定义 2.10 设G为公式:
(1) 如果G在所有解释下都是真的，则称G是恒真式(或称G是重言式，永真式);
(2) 如果G在所有解释下都是假的，则称G是恒假式(或称G是矛盾式，永假式);
(3) 如果G不是恒假的，则称G是可满足式。

注意：
(1) 恒真公式的真值表的最后一列全为1，恒假公式的最后一列全为0，可满足公式的最后一列至少有一个1。
(2) 恒真公式一定是可满足的，可满足的不一定是恒真的。

习题二

7、15、29、33

知识储备

定义2.5
所有简单合取式，都是极小项的析取范式，称为主析取范式。
所有简单析取式，都是极大项的合取范式，称为主合取范式。

定理2.3（范式存在定理）
任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。

对主析取范式主合取范式求解不太理解的可以看看下面这个例子

求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式．

(1) (p∧q)∨r
(2) (p→q)∧(q→r)

(1)
这里是解答
⇔(p∧q∧(¬r∨r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 补项。
⇔((p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 结合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r)) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 结合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r))∨(p∧(¬q∨q)∧r) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 结合。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨((p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 结合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 等幂律。
m1∨m3∨m5∨m6∨m7 主析取式
m0∧m2∧m4主合取式

(2)
这里是解答
⇔ (¬p∨q)∧(¬q∨r)
⇔ (¬p∨q∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 补项
⇔ ((¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 分配律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 结合律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)) 分配律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r) 结合律
m1∧m2∧m3∧m5 主合取式
m0∨m4∨m6∨m7 主析取式

用主析取范式判断下列公式是否等值．

(1) (p→q)→r与q→(p→r)
(2) ┐(p∧q)与┐(p∨q)

因为任何命题公式的主析取范式都是唯一的，因而A与B等值，当且仅当A与B有相同的主析取范式和主合取范式．
设A= (p→q)→r，B=q→(p→r)
求解 A、B、C、D的主析取范式。
A=(p→q)→r
⇔(p∧┐q)∨r
⇔((P∧┐Q)∧(R∨┐R))∨(R∧(P∨┐P)∧(Q∨┐Q)))
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨((R∧P)∨(R∧┐P))∧(Q∨┐Q))
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(R∧P∧Q)∨(R∧P∧┐Q)∨ (R∧┐P∧Q)∨(R∧┐P∧┐Q)
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧┐Q ∧R)∨ (┐P∧Q ∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)(上式整理后)
⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7
B=q→(p→r)
⇔￢q∨￢p∨r
⇔￢p∨￢q∨r
⇔M6
⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
(1)(p→q)→r与q→(p→r)不等值

简答题

在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生 位同学被选迸了班委会该班的甲 ．乙，丙三名学生预言如下．
甲说：王小红为班长，李强为生活委员．
乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员
丙说：李强为班长，王小红为学习委员．
班委会分工名单公布后发现，甲 、乙，丙 三人都恰好猜对了一半． 问：王小红、李强、 金生各任何职（用等值等演求解）？

设命题
a:王小红为班长
b:李强为生活委员
c:丁金生为班长
d:王小红为生活委员
e:李强为班长
f:王小红为学习委员
则
a,b当中有且只有1个为真, 即a∧b=F，a∨b=T
c,d当中有且只有1个为真, 即c∧d=F，c∨d=T
e,f当中有且只有1个为真, 即e∧f=F，e∨f=T
又因为a,d,f三个命题当中，有且只有1个为真（王小红只有1个职务），即
(a∧c∧e)∨(b∧d∧e)∨(b∧c∧f)=T ① （枚举3种情况，然后析取）
而b,d不可能同时为真（生活委员只有1个），即b∧d=F
则根据①，化简得
(a∧c∧e)∨(b∧c∧f)=T ②
而a,c,e三个命题当中，也有且只有1个为真（班长只有1个），即
a∧c∧e=F，代入②，得到
b∧c∧f=T
从而
b=c=f=T
即
李强为生活委员，
丁金生为班长，
王小红为学习委员

用消解法判断下列公式是否是可满足的．

(1)p∧(┐p∨┐q)∧q
(2)(p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)

这是百度文库的答案（因为这些符号太难打了）