方格取数问题

题目描述

在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

输入输出格式

输入格式：

第 1 行有 2 个正整数 m 和 n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m 行，每行有 n 个正整数，表示棋盘方格中的数。

输出格式：

程序运行结束时，将取数的最大总和输出

思路：题目要求求出一些点，是每个点之间没有边相连，且点权最大。想到二分图最小点权覆盖，最小点权覆盖=最小割。答案为所有点权-最小割=所有点权-最大流。 根据题意，把上下左右相邻的点黑白染色。源点S向白色的点加边，容量为对应点权，黑色点向汇点T加边，容量为点权，白色的点向相邻黑色点加边，容量为无穷。

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#define inf 0x3fffffff
using namespace std;
const int maxn=2777;
int first[maxn],sign,cur[maxn];
int s,t,d[maxn];
struct node
{
    int to,w,next;
} edge[maxn*20];
void creat()
{
    memset(first,-1,sizeof(first));
    sign=0;
}
void add_edge(int u,int v,int w)
{
    edge[sign].to=v;
    edge[sign].w=w;
    edge[sign].next=first[u];
    first[u]=sign++;

    edge[sign].to=u;
    edge[sign].w=0;
    edge[sign].next=first[v];
    first[v]=sign++;
}
int bfs()
{
    queue<int>q;
    memset(d,0,sizeof(d));
    d[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int top=q.front();
        q.pop();
        for(int i=first[top]; ~i; i=edge[i].next)
        {
            int to=edge[i].to;
            if(edge[i].w>0&&d[to]==0)
            {
                d[to]=d[top]+1;
                if(to==t)
                    return 1;
                q.push(to);
            }
        }
    }
    return d[t]!=0;
}
int dfs(int top,int flow)
{
    if(top==t)
        return flow;
    int ans=0,x=0;
    for(int i=cur[top]; ~i; i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if(edge[i].w>0&&d[to]==d[top]+1)
        {
            x=dfs(to,min(flow-ans,edge[i].w));
            edge[i].w-=x;
            edge[i^1].w+=x;
            if(edge[i].w)
                cur[top] = i;
            ans+=x;
            if(ans==flow)
                return flow;
        }
    }
    if(ans==0)
        d[top]=0;
    return ans;
}
int dinic(int n)
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=0; i<=n; i++)
            cur[i]=first[i];
        ans+=dfs(s,inf);
    }
    return ans;
}
int a[111][111];
int go[4][2]= {1,0,0,1,-1,0,0,-1};
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    creat();
    int sum=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]),sum+=a[i][j];
    s=0,t=n*m+1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            if((i+j)&1)
                add_edge(s,(i-1)*m+j,a[i][j]);
            else add_edge((i-1)*m+j,t,a[i][j]);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
        if((i+j)&1)
            for(int k=0; k<4; k++)
            {
                int x=i+go[k][0],y=j+go[k][1];
                if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m)
                {
                    int res=(x-1)*m+y;
                    add_edge((i-1)*m+j,res,inf);
                }
            }
    printf("%d\n",sum-dinic(t));
    return 0;
}