[AcWing] 方格取数

方格取数

题目

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

数据范围

$N≤10$

输入样例

8
2  3  13
2  6  6
3  5  7
4  4  14
5  2  21
5  6  4
6  3  15
7  2  14
0  0  0

输出样例

67

题解

思路

• 我们假设两条路径同时走，那么，可以用 f[i1][j1][i2][j2] 表示两条路径分别走到 (i1, j1) 和 (i2, j2) 两个位置取得的最大和
• 由于两条路径是同时走的，所以可以用 k 代表两条路径均走了 k 步的阶段，在图中也代表着横纵坐标之和，那么可以列出等式 i1 + j1 == i2 + j2 == k
• 综上所述，f[i1][j1][i2][j2] 可以转换为 f[k][i1][i2]
• 由于 f[k][i1][i2] 的最大和取值可能来自四种情况：两条路径均从左边来、两条路径均从上边来、一条从左一条从上、一条从上一条从左
• 故 f[k][i1][i2] = max(f[k-1][i1][i2], f[k-1][i1-1][i2-1], f[k-1][i1][i2-1], f[k-1][i1-1][i2]) + 增量

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 13;
int w[N][N], f[N+N][N][N], n;

int main () {
    cin >> n;
    int x, y, c;
    while (cin >> x >> y >> c, x && y && c) w[x][y] = c;
    
    for (int k = 2; k <= n + n; k ++)
        for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
            for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++) {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if (j1 >= 1 && j2 >= 1 && j1 <= n && j2 <= n) {
                    int t = w[i1][j1];
                    if (i1 != i2) t += w[i2][j2];
                    for (int a = 0; a < 2; a ++)
                        for (int b = 0; b < 2; b ++) 
                            f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k-1][i1-a][i2-b] + t);
                }        
            }
    
    cout << f[n+n][n][n];
    return 0;
}