九、线性规划 Simplex Tableau 的公式

1、行缩减和逆矩阵

当我们对方程组 $Ax = b$ 进行行归约时，每一步都是一个基本的行操作：

将第 $i ^{th}$ 行乘以常数 $c \neq 0$ ，

将第 $i ^{th}$ 行的 $c$ 加到第 $j ^ {th}$ 行，或

交换第 i 行和第 j 行。

这些都可以通过取一个相应的初等矩阵 $E$ 来描述，并将方程 $Ax = b$ 的两边乘以 $E$ ，从左边开始，得到 $EAx = Eb$ 。这是一个实际操作的示例，其中基本行操作是“从第三行减去第一行的两倍”：

许多这些基本矩阵的乘积是其他一些更复杂的矩阵。因此，我们通过行操作从 $Ax = b$ 得到的每个方程组都将具有 $MAx = Mb$ 的形式，对于某些矩阵 $M$ 。单个矩阵可以概括任意多个行操作的组成。

特别是，我们可能关心哪个矩阵 M 对应于对矩阵进行行约简的行操作。那么，它是哪个矩阵？为了回答这个问题，我们首先将系统的列拆分为基本变量 $B$ 和非基本变量 $N$ ，就像我们在上一节中所说的。

当我们对矩阵 A 相对于 B 进行行归约时，我们的目标是让第 i 个基本变量在第 i 行中具有 1，在所有其他行中具有 0。换句话说，在得到的行缩减系统 $MAx = Mb$ 的矩阵 $MA$ 中，对应于基本变量的列 $(MA)_B$ 正好形成单位矩阵 $I$ 。

这足以告诉我们 M 必须是什么。如果将所有 $M$ 左乘 $A$ 得到一个矩阵 $MA$ ，其子矩阵 $(MA)B$ 等于 $I$ ，那么仅将子矩阵 $AB$ 左乘 $M$ 就应该得到 $I$ 。但是只有一个矩阵具有这种效果：它是逆矩阵 $A^{-1}_B$ 。

因此，当我们对基本变量 $B$ 的系统 $Ax = b$ 进行行归约时，我们得到的新方程组（相当于旧的，但形式更好）是 $A^{-1}_B Ax = A^{-1}_B b$ .

另一种思考发生了什么的方法，考虑将系统 $Ax = b$ 拆分为

然后，我们可以通过乘以 $A^{-1}_B$ 并重新排列以 $x_N$ 形式求解 $x_B$ ：

这为我们提供了 $Ax = b$ 的所有解的公式：我们可以为 $x_N$ 选择任何我们喜欢的值，然后我们必须使用上面的公式来找到与之对应的 $x_B$ 的值。

特别是，我们可以设置 $x_N = 0$ ，然后公式给我们 $x_B = A^{-1}_B b$ ：这就是我们所说的基本解。

2、单纯形表的公式

这在单纯形表中看起来如何？同样，我们假设我们的线性程序具有以下形式

其中 A 是一个 $m \times n$ 矩阵， $b \in R^m$ ， $c \in R^n$ ； A 的行是线性独立的。

如果发生以下两种情况，则基本变量 B 的每个选择都会产生一个有效的单纯形表：

$A_B$ 是可逆的：然后通过设置 $x_N = 0$ 和 $x_B = A^{-1}_B b$ ，我们得到一个基本的解决方案。

$A^{-1}_B b \geq 0$ ：那么，我们得到的基本解决方案是可行的。

为了使单纯形表看起来“更干净”，我们可以对列进行排序，将基本变量 $x_B$ 放到最前面和 $x_N$ 放在最后：然后，表看起来像

对于矩阵 $Q$ ，向量 $p$ 和 $r$ ，以及标量 $z_0$ 。

通常，在实践中，我们不对列进行排序，因此看起来略有不同。但是交换列并没有什么坏处，只要我们保持它们的标签。例如，对于线性程序

我们在第 5 讲中看到的，当我们解决它时，我们得到了下面左边的画面，但我们可以把它写成右边的“清理形式”。

我们如何仅通过知道问题以及我们选择了哪些基本变量 $B$ 来找到 $p$ 、 $Q$ 、 $r$ 和 $z_0$ 的值？

让我们从 $p$ 开始。这是表格的右侧，保存当前基本可行解中基本变量的值。换句话说，这正是我们从公式 $A^{-1}_B b$ 得到的。在上面的问题中，如果我们首先将 A 重新排列为一个矩阵 ${A}'$ ，该矩阵将按 $y$ , $s_2$ , $x$ , $s_1$ , $s_3$ 排序，我们得到：

我们还知道，从 $Ax = b$ 开始到上图结束所需的行减少步骤可以用 $A^{-1}_B$ 的左乘代替。当我们将表格的 $A_B$ 部分乘以 $A^{-1}_B$ 时，我们得到了大单位矩阵。当我们将表格的 $A_N$ 部分乘以 $A^{-1}_B$ 时，我们得到了我们想要的公式的矩阵 $Q$ 。所以 $Q = A^{-1}_B A_N$ ；在我们的示例中，