05、线性规划

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线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

一般线性规划问题的（数学）标准型为

可行解满足约束条件（4）的解x=（x1，x…，x，），称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最大值的可行解叫最优解。

可行域所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

求解线性规划的Matlab解法

单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。这里我们就不介绍单纯形法，有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。下面我们介绍线性规划的Matlab解法。

Matlab中线性规划的标准型为

基本函数形式为linprog（c，A，b），它的返回值是向量x的值。还有其它的一些函数调用形式（在Matlab指令窗运行 help linprog 可以看到所有的函数调用形式），如：

[x，fval]=linprog(c，A，b)
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beq，LB，UB)
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beq，LB，UB，X0，OPTIONS)

这里fval返回目标函数的值，LB和UB分别是变量x的下界和上界，xo是x的初始值，OPTIONS 是控制参数。

eg：求解线性规划问题

其MATLAB程序如下：

f = [-2;-3;5] ;
a = [-2,5,-1;1,3,1] ;
b = [-10;12] ;
aeq = [1,1,1] ;
beq = 7 ;
%s = [0;0;0] ;
%s2 = [3;3;3] ;设置上边界，x1,x2,x3<=3 用的时候将其加在zeros(3,1)后面
[x,y] = linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) ;%zeros(3,1)生成三行一列的0矩阵，可用s将其换
x,y = -y

其Lingo程序如下

model :
sets:
row/1..2/:b ;
col/1..3/:c,x ;
links(row,col):a ;
endsets 
data:
c = 2 3 -5 ;
a = -2 5 -1 1 3 1 ;
b = -10 12 ;
enddata
max = @sum(col:c*x) ;
@ for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i)) ;
@ sum(col:x) = 7 ;
end

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