668. 乘法表中第k小的数 : 经典「二分 + 计数判定」运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 668. 乘法表中第k小的数 ，难度为困难。

Tag : 「二分」、「计数」

几乎每一个人都用乘法表，但是你能在乘法表中快速找到第 $k$ 小的数字吗？

给定高度 $m$ 、宽度 $n$ 的一张 $m \times n$ 的乘法表，以及正整数 $k$ ，你需要返回表中第 $k$ 小的数字。

例 1：

输入: m = 3, n = 3, k = 5

输出: 3

解释: 
乘法表:
1	2	3
2	4	6
3	6	9

第5小的数字是 3 (1, 2, 2, 3, 3).
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例 2：

输入: m = 2, n = 3, k = 6

输出: 6

解释: 
乘法表:
1	2	3
2	4	6

第6小的数字是 6 (1, 2, 2, 3, 4, 6).
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注意：

$m$ 和 $n$ 的范围在 $[1, 30000]$ 之间。
$k$ 的范围在 $[1, m \times n]$ 之间。

二分 + 计数判定

由于 $n$ 和 $m$ 的数据范围都是 $3 \times 10^4$ ，总数本身就超过了 $10^7$ ，我们考虑线性复杂度往下的对数复杂度。

题目要求我们求一维展开有序序列中的第 $k$ 小的数，问题本身具有「二段性」：

答案右边的每个数均满足「其在一维展开有序序列中左边数的个数大于等于 $k$ 个」
答案左边的每个数均 不满足「其在一维展开有序序列中左边数的个数大于等于 $k$ 个」

我们考虑如何进行「二分答案」: 假设当前我们二分到的值是 $mid$ ，对于乘法表中的每行和每列均是单调递增，我们可以通过累加统计每行/每列中比 $mid$ 小的数，记作 $a$ ，累加统计每行/每列中等于 $mid$ 的数，记作 $b$ ，那么 $cnt = a + b$ 即是整个乘法表中小于等于 $mid$ 的数的个数，再通过 $cnt$ 和 $k$ 的大小关系来指导左右指针的变化。

具体的，假设我们通过枚举行来统计 $a$ 和 $b$ ，当前枚举到的行号为 $i$ （行号从 $1$ 开始），该行的最大数为 $i \times m$ ：

若 $i \times m < mid$ ，整行都是小于 $mid$ 的数，直接在 $a$ 基础上累加 $m$ ；
若 $i \times m >= mid$ ，根据 $mid$ 是否存在于该行进行分情况讨论：
- $mid$ 能够被 $i$ 整除，说明 $mid$ 存在于该行，那么比 $mid$ 小的数的个数为 $\frac{mid}{i} - 1$ ，将其累加到 $a$ ，同时对 $b$ 进行加一；
- $mid$ 不能够被 $i$ 整除，说明 $mid$ 不存在于该行，那么比 $mid$ 小的数的个数为 $\frac{mid}{i}$ ，将其累加到 $a$ 。

一些细节：由于乘法表具有对称性，我们统计时可以对行和列中较小的一方进行遍历。

代码：

class Solution {
    int n, m, k;
    public int findKthNumber(int _m, int _n, int _k) {
        n = Math.min(_m, _n); m = Math.max(_m, _n); k = _k;
        int l = 1, r = m * n;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1, cnt = getCnt(mid);
            if (cnt >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    int getCnt(int mid) {
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i * m < mid) {
                a += m;
            } else {
                if (mid % i == 0 && ++b >= 0) a += mid / i - 1;
                else a += mid / i;
            }
        }
        return a + b;
    }
}
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时间复杂度： $O(\min(n, m) \times \log{nm})$
空间复杂度： $O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.668 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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