第K小分数（二分）

第K小分数（二分）

Time limit：10000 ms
Memory limit：262144 kB
OS：Linux
Source：[Offer收割]编程练习赛46
judge：HihoCoder - 1692

描述

给定 $N$ 个不同的质数 $P_1, P_2, ... ,P_N$ 。用它们作为分目可以组成 $(P_1-1) + (P_2-1) + ... (P_N-1)$ 个分数：

$\frac{1}{P_1}, \frac{2}{P_1}, \frac{3}{P_1}, ..., \frac{P_1-1}{P_1},$
$\frac{1}{P_2}, \frac{2}{P_2}, \frac{3}{P_2}, ... ,\frac{P_2-1}{P_2},$
$...\ ,$
$\frac{1}{P_N}, \frac{2}{P_N}, ... ,\frac{P_N-1}{P_N}$

请帮助小Ho求出其中第 $K$ 小的分数。

Input

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ 。

以下 $N$ 行每行包含一个质数 $P_i$ 。

对于 $70\%$ 的数据， $1 ≤ N ≤ 100, 1 ≤ K ≤ 1000000, 2 ≤ P_i ≤ 100000$

对于 $100\%$ 的数据， $1 ≤ N ≤ 1000, 1 ≤ K ≤ 1000000000, 2 ≤ P_i ≤ 1000000000$

Output

输出一个分数表示答案

Sample Input

3 4
2
3
5

Sample Output

1/2

题解

因为给出的 $p_i$ 是质数，所以每一个分数对应的小数都是独一无二的，就像只能有 $\frac{1}{2}$，而不会有 $\frac{2}{4}$ 一样。

而且当分母一定时，分子的大小顺序就是对应的分数的大小顺序，就像 $\frac{1}{5}<\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}$

那么如果我们可以知道小于小数 $mid$ ，且分母为 $P$ 的分数的个数 $cnt$ 的话，我们就可以枚举 $n$ 个分母求得所有小于 $mid$ 的分数的个数 $cnt$ ，通过比较这个 $cnt$ 和 $k$ 的大小就可以进行二分了，直到最后 $cnt = k$ 。

而每一次求 $cnt$ 时我们都保存最接近 $mid$ 的分数的分子和分母，那么二分结束时的分子和分母就是要输出的答案了。

那么怎么获取这个 $cnt$ 呢？我们知道当分母为 $5$ 时，构成的分数是： $\frac{1}{5}、\frac{2}{5}、\frac{3}{5}$和 $\frac{4}{5}$ ，假设 $mid$ 此时为 $0.5$ ，那么把 $0.5$ 转化为一个分数且分母为 $5$ 的最简单的方式就是分子分母同时乘以 $5$ ： $0.5=\frac{5\ ·\ 0.5}{5}$。所以得到的分数就是 $\frac{2.5}{5}$,显然，分子小于 $2.5$ 的有 $2$ 个，即 $2.5$ 向下取整；同理当分母为 $P$ 时，小于 $mid$ 的分数的个数就是 $\lfloor P\ ·\ mid \rfloor$，（符号意为向下取整）。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 1005
#define _for(i, a) for(LL i = 0; i < (a); ++i)
using namespace std;
typedef long long LL;

LL n, k;
LL P[maxn];
LL Numerator, Denominator;	//最接近mid的分子和分母

LL find(double mid) {
	LL cnt = 0;
	_for(i, n) {
		LL num = mid * P[i];	//向下取整
		cnt += num;
		if (Numerator == -1 && Denominator == -1 || Numerator * P[i] < num * Denominator) {	//保存分子和分母
			Numerator = num;
			Denominator = P[i];
		}
	}
	return cnt;
}

LL gcd(LL a, LL b) {
	if (a > b) swap(a, b);
	return a ? gcd(b % a, a) : b;
}

void sol() {
	cin >> n >> k;
	_for(i, n) cin >> P[i];
	double l = 0, r = 1;
	while (1) {
		Numerator = -1, Denominator = -1;
		double mid = (l + r) / 2;
		LL cnt = find(mid);
		if (cnt == k) break;
		if (cnt > k) r = mid;
		else l = mid;
	}
	LL _gcd = gcd(Numerator, Denominator);
	cout << Numerator / _gcd << "/" << Denominator / _gcd << "\n";
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	//freopen("in.txt", "r", stdin);

	sol();
	return 0;
}