经典题:poj2104-区间第k小 整体二分学习

写在前面

区间第k小 可以说是一个很经典的数据结构题了，这道题有很多种解法比如莫队离线、主席树、整体二分等等。
之前用莫队和主席树写过这道题，今天来学习一个以前不会的算法——整体二分。
因为最近遇到一个类似于整体二分的题目，就是Codeforces里的gym-101741的J题，感觉它的思想和整体二分很像，但又不一样，做完那道题顺便来学习一下整体二分，那就不能不做整体二分的入门题——区间第k小啦。

整体二分使用条件

• 询问之间是独立的，可以离线处理询问。
• 对于单个询问的回答，可以使用二分答案的方法，并且check的复杂度可以接受。

整体二分思想

由于每个询问都要进行二分check，因此有很多check是这些询问都可以使用的，没必要check很多次。
因此我们把这些区间打包，一起进行处理。
对于区间k小这个问题。
我们二分一个答案$mid$。
1. 然后检查所有的数，如果一个数$a[i] <= mid$的话，那么我们就在$BIT$中把$i$位置加1，然后把这个数扔到左集合里。否则的话就把这个数扔到右集合里面去。左集合中的数均$≤mid$，这样的话这个集合的数就不会对$[mid+1,r]$这个位置里面的待check答案产生影响。右集合的数均$>mid$，这样这个集合的数就不会对$[l,mid]$这个位置里面的待check答案产生影响。
2. 我们检查所有的询问区间，从$BIT$中统计出当前区间内$<= mid$的数有cnt个，如果$cnt >= k$，那么这个询问应该被扔到左集合里面去。否则这个询问应该被扔到右集合一面去，并且对应的$k-=cnt$。
3. 当二分到一个区间$l == r$的时候算法结束，此时所有的剩余的询问答案均为$l$。

时间复杂度为$O(n*log(n)*log(S))$
其中$S$是数的范围。

注意

这道题如果想在poj上通过则要把vector换成数组，不然会超时（吐槽：poj太落后了）。

POJ2104 参考代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#define pr(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl
using namespace std;
const int inf = 1e9+7;
const int maxn = 100007;
/*
struct node{
    int type,x,y,k,ans;
};
*/
int e[105007][5];
//e数组的解释见node结构体
int n,m,tot;
int bitree[maxn];
inline int lowbit(int x) {return x & (-x);}
void add(int pos,int x){
    while(pos < maxn){
        bitree[pos] += x;
        pos += lowbit(pos);
    } 
}
int sum(int pos){
    int ans = 0;
    while(pos){
        ans += bitree[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return ans;
}
void solve(int l,int r,vector<int> qs){
    //pr(l);pr(r);
    if(l > r || qs.size() == 0) return ;
    if(l == r){
        for(int i = 0;i < qs.size();++i)
            e[qs[i]][4] = l;
        return ;
    }

    int mid = (l+r)>>1;
    vector<int> qs1,qs2;
    for(int i = 0;i < qs.size();++i){
        int id = qs[i];
        if(e[id][0] == 0){
            if(e[id][2] <= mid){
                add(e[id][1],1);
                qs1.push_back(id);
            }
            else
                qs2.push_back(id);
        }
        else{
            int cnt = sum(e[id][2]) - sum(e[id][1]-1);
            if(cnt >= e[id][3]){
                qs1.push_back(id);
            }
            else{
                e[id][3] -= cnt;
                qs2.push_back(id);
            }
        }   
    }

    for(int i = 0;i < qs1.size();++i){
        int id = qs1[i];
        if(e[id][0] == 0) add(e[id][1],-1);
    }

    solve(l,mid,qs1);
    solve(mid+1,r,qs2);
}
vector<int> qs;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        scanf("%d",&e[tot][2]);
        e[tot][1] = i;
        qs.push_back(tot++);
    }
    for(int i = 0;i < m;++i){
        e[tot][0] = 1;
        scanf("%d%d%d",&e[tot][1],&e[tot][2],&e[tot][3]);
        qs.push_back(tot++);
    }
    solve(1,inf,qs);
    for(int i = 0;i < m;++i){
        printf("%d\n",e[i+n][4]);
    }
    return 0;
}