从基变换的角度理解旋转矩阵R

在理解相机坐标系时，我们一定会接触相机的外参矩阵R，它将世界坐标系下的坐标转换到相机坐标系下：
$$P_c=R\ast P_w+t$$
这实际上是两个坐标系之间的变换，我们知道$R$矩阵是一个正交矩阵，所以它的3个行（列）向量是3维向量空间的一组标准正交基，而一组标准正交基可以作为一个坐标系的三个基向量。那么我们的$R$矩阵如何和两个坐标系的基向量联系起来呢？

我们先画出两个坐标系$X_w{Y}_w{Z}_w$和$X_c{Y}_c{Z}_c$：

我们要讨论的是如何把某一点 $P$ 在世界坐标系上的坐标转换成相机坐标系上的坐标。

暂且不考虑两个坐标系之间的平移，于是将相机坐标系的原点移动到世界坐标系的原点，像这样：

我们可以标出两个坐标系的基向量组$e_w({\vec{e}}_{wx},{\vec{e}}_{wy},{\vec{e}}_{wz})$和$e_c({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})$。它们都在世界坐标系下。

接下来，再讨论如何把世界坐标系上的一点$P(X_w,Y_w,Z_w)$转换到相机坐标系下
$$P(X_w,Y_w,Z_w)\to P(X_c,Y_w,Z_w)$$
在世界坐标系下，基向量组$e_w({\vec{e}}_{wx},{\vec{e}}_{wy},{\vec{e}}_{wz})$为单位阵，也就是

其中${\vec{e}}_{wx}=(1,0,0{)}^T$，${\vec{e}}_{wy}=(0,1,0{)}^T$，${\vec{e}}_{wz}=(0,0,1{)}^T$。

我们知道$P$在世界坐标系下的坐标实际上是以上三组基向量的线性组合，即$P_w=X_w\ast {\vec{e}}_{wx}+Y_w\ast {\vec{e}}_{wx}+Z_w\ast {\vec{e}}_{wx}$

这便是坐标的基向量表示法了。

那么我们把$P$点的坐标变换到基向量组$e_c({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})$下便得到了相机坐标系下的变换。换句话说，我们要计算$P$点在基向量组$e_c({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})$下的坐标$P_c=X_c\ast {\vec{e}}_{cx}+Y_c\ast {\vec{e}}_{cx}+Z_c\ast {\vec{e}}_{cx}$。

从旋转矩阵的角度来说，计算公式是：
$$P_c=R{P}_w$$

让我们先暂时忘掉$P$，我们想一想基向量组$e_c({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})$通过$R$矩阵变换到相机坐标系下是什么样的呢？

答案显而易见，是单位阵$E$。

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也就是说通过左乘旋转矩阵$R$，我们可以把基向量组$e_c({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})$变成单位阵$E$，表达如下：
$$R({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})=E$$

因此我们知道
$$({\vec{e}}_{cx},{\vec{e}}_{cy},{\vec{e}}_{cz})=R^{-1}=R^T$$

这就是我们的旋转矩阵$R$在基变换角度下的理解，$R$的逆矩阵（或转置矩阵）的三个列向量，便是相机坐标系的三个基向量在世界坐标系下的坐标。