一个马尔科夫题 (有一定进展)

1. 题目

数轴上 1 的位置一个点 A, 可左右随机游动. 每次游动距离为 1, 往左游动的概率是 1/3, 往右游动的概率是 2/3; 0是吸收壁 (游动到 0 就是结束).
问题:
(1) 点 A 能游动 $n$ 步的概率 (推导一下关于 $n$ 的公式, $n\ge 1$);
(2) 游动 $n$ 步的条件下, 游动位移总和的（条件）分布.

2. 解

令 S ∈ { L , R } ∗ S \in \{L, R\}^* S∈{ L,R}∗ 为当前移动对应的字符串, 其中 $L$ 和 $R$ 分别表示向左、向右移动一个单位.
我们来求刚好在第 $k$ 步被吸收的概率.

2.1 观察

当 $n=0$ 时，点 A 被吸收的概率为 0. 处于数轴上 1 的概率为 1 (它本来就在那里). 对应于 $S=\epsilon$.
当 $n=1$ 时，点 A 被吸收的概率为 $p=\frac{1}{3}$. $S=L$.
当 $n=2$ 时，点 A 被吸收的概率为 0. 刚好回到初始位置的概率为 $c(1)(1-p)p$. $S=RL$. 其中 $c(1)=1$.
当 $n=3$ 时，点 A 被吸收的概率为 $c(1)(1-p)p^2$. $S=RLL$.
当 $n=4$ 时，点 A 被吸收的概率为 0. 回到初始位置的概率为 $c(2)(1-p{)}^2{p}^2$. $S=RLRL$ 或 $RRLL$. $c(2)=2$
当 $n=5$ 时，点 A 被吸收的概率为 $c(2)(1-p{)}^2{p}^3$.
当 $n=6$ 时，点 A 被吸收的概率为 0. 回到初始位置的概率为 $c(3)(1-p{)}^3{p}^3$. $S=RLRLRL$ 或 $RRLLRL$ 或 $RRLRLL$ 或 $RRRLLL$ 或 $RLRRLL$. $c(3)=5$.
当 $n=7$ 时，点 A 被吸收的概率为 $c(3)(1-p{)}^3{p}^4$.

2.2 解

仅当 $k$ 为奇数时才有可能被吸收, 因此, 我们应该分析当 $k=2i+1$ 步时的吸收概率
$$P(i)=c(i)(1-p{)}^i{p}^{i+1},\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中, $c_i$ 不知道是啥. 但我观察发现, 对应于 $i$ 对括号匹配的个数, 其中 $R$ 解释为左括号, $L$ 解释为右括号. 于是我找度娘: “组合数学中括号匹配的个数”, 她告诉我这个是 Catlan 数 https://blog.csdn.net/weixin_43965698/article/details/104452433
$$\begin{array}{ll}c(i)& ={\sum }_{j=0}^{i-1}h(j)\cdot h(i-j-1)\\ & =C_{2i}^i/(i+1)\\ & =C_{2i}^i-C_{2i}^{i+1}\end{array}$$
于是 (1) 式变为
$$P(i)=\frac{C_{2i}^i}{i+1}(1-p{)}^i{p}^{i+1},\text{\hspace{1em}(2)}$$
注意 $c(0)=1$, $P(0)=p$.
原题的解为
$$1-\sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }P(i)=1-\sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{C_{2i}^i}{i+1}(1-p{)}^i{p}^{i+1}.\text{\hspace{1em}(3)}$$