题目链接：1276 -- Cash Machine
题意：先给你一个背包容量，然后给你n种物品每种物品的体积和数量，问最多能装的物品的体积是多少？
多重背包经过二进制优化就相当于01背包，什么是二进制优化呢？就是说一种物品有m件，我们在多重背包问题求解过程中会依次遍历取多少件，这样复杂度有点高，而二进制优化就是说把2^s件物品当成一件物品来取，这样原来需要取2^s次现在只需要取一次，复杂度会大大降低，那这样做的正确性应该如何证明呢？
我们假设最优答案中包含这种物品k件，然后我们把m分成若干个连续的2的次幂的和，也就是m=1+2+4+8+……+2^s+p（0<=p<=2^(s+1)）,共s+2个数，其中p不一定是2的幂次，那么k一定可以由这s+2个数中的若干来表示，由于这些数的和是大于等于k的且二的幂次是连续的，所以用这些数可以表示出来任意的小于等于m的数，现在对这个地方给出证明：
（1）k<=2^(s+1)-1,这个时候写出k的二进制表示，第几位是1就取第几个物品，比如k的二进制表达式是10011(s>=5)，这个时候由于二进制表示中第1，2，5位是1，所以我们就可以取第1，2，5件物品，这样就可以表示出k了
(2)2^(s+1)<=k<=p+2^(s+1)-1=m,则有k-p<=2^(s+1)-1,这就意味着我们可以先取出来p件物品，再写出剩余需取物品的二进制表示，然后同上，k-p二进制表示中哪位是1就取第几件物品
有了这一点之后这道题目就变成了一道普通的01背包问题了，把m个物品分解成若干连续二的幂次的方法见代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int f[N],v[N];
int main()
{
int V,n;
while(scanf("%d",&V)!=EOF)
{
scanf("%d",&n);
memset(f,0,sizeof f);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int s,t;
scanf("%d%d",&s,&t);
for(int j=1;j<=s;j<<=1)//将物品数目拆分成若干个2进制（最后一个物品可能不是二进制数，但不影响 ）
{
v[++cnt]=j*t;
s-=j;
}
if(t)
v[++cnt]=t*s;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=V;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+v[i]);
printf("%d\n",f[V]);
}
return 0;
}