算法作业-整数划分-母函数

正整数的划分问题是将一个正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。请编写至少三种不同的求解算法，并对所编写算法的时间效率进行测试和比较。

解法一：递归算法

解法二：动态规划算法

解法三：母函数算法

，

x^mk表示划分中包含了m个k的情况。正整数n的不同划分个数的母函数为：

利用函数G(x)求出xⁿ的系数即可。

算法如下：

扫描二维码关注公众号，回复： 1435208 查看本文章

Java代码如下：

package integer_division;

public class Integer_division_3 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		long startTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println(p(120));//打印120的划分种类数
		long endTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println("程序运行时间："+(endTime - startTime) + "ms");
	}

	public static int p(int n) {
        int[] c1 = new int[n+1];
        int[] c2 = new int[n+1];
        for(int i=0; i<=n; i+=1) {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(int i=2; i<=n; i+=1) {
            for(int j=0; j<=n; j+=1) {
                for(int k=0; k+j<=n; k+=i) {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
            }
            for(int j=0; j<=n; j+=1) {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        return c1[n];
	}

}

对代码进行实例测试的结果如下：（(a,b,c)中a表示正整数，b表示划分结果个数，c表示程序的运行时间，单位是毫秒）

（10，42，1）

（30，5604，1）

（50，204226，1）

（70，4087968，1）

（80，15796476，1）

（90，56634173，1）

（100，190569292，1）

（110，607163746，1）

（后面的测试实例划分结果数目过多，故不展示划分结果数目）

（200，-，3）

（300，-，5）

（400，-，6）

（600，-，8）

（800，-，10）

（1000，-，14）

（1200，-，17）

该算法的时间复杂度为O(n²lnn)。