leetcode204 --- 埃氏筛和线性筛

埃氏筛

我们考虑这样一个事实：如果 $x$ 是质数，那么大于 $x$ 的 $x$ 的倍数 $2x$,$3x$,…一定不是质数，因此我们可以从这里入手。

我们设 $isPrime[i]$ 表示数 $i$ 是不是质数，如果是质数则为 $1$，否则为 $0$。从小到大遍历每个数，如果这个数为质数，则将其所有的倍数都标记为合数（除了该质数本身），即 $0$，这样在运行结束的时候我们即能知道质数的个数。

这里还可以继续优化，因为对于一个质数 $x$，如果按上文说的我们从 $2x$开始标记其实是冗余的，应该直接从 $x\cdot x$ 开始标记，因为 $2x,3x,\dots$这些数一定在之前就被其他数的倍数标记过了，例如 $2$的所有倍数，$3$的所有倍数等。

class Solution {
    
    
public:
    int countPrimes(int n) {
    
    
        vector<int> isPrime(n,1);
        int res = 0;
        for(long long i=2;i<n;i++) {
    
    
            if(isPrime[i]) {
    
    
                ++res;
                for(long long j=i*i; j<n; j+=i) {
    
    
                    isPrime[j] = 0;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

线性筛

埃氏筛会有重复标记的行为，比如45会被3和5重复标记，线性筛则可以避免这种情况，线性筛又称欧拉筛，欧拉筛需要维护一个质数表，对于 $2\le i<n$ ，当遍历到整数 $i$ 时，执行如下操作，

1、如果 $i$ 是质数，即 $i$ 没有被标记为合数，则将 $i$ 加入质数表

2、从小到大遍历质数列表，对每个质数 $prime$ ，当 $i\ast prime<n$ 时执行如下操作：

​ a、将 $i\ast prime$ 标记为合数

​ b、如果 $i$ 能被 $prime$ 整除，则结束遍历质数列表

这里的原理是，如果如果 $i$ 能被 $prime$ 整除，则记 $prim{e}^{\prime }$ 为大于 $prime$ 的质数，$y=x\ast prim{e}^{\prime }$ ，则有 $y=\frac{x}{prime}\ast prim{e}^{\prime }\ast prime$ ，当遍历到 $\frac{x}{prime} * prime’ $ 时，$y$ 会被质数 $prime$ 标记，由于 $prime<prime’$ ，所以当$\frac{x}{prime}$ 为整数，即 $xmodprime==0$ 时，这个整数就可以被 $prim{e}^{\prime }$ 标记，因此 $y$ 会被其最小的质因数标记。

由于欧拉筛可以确保每个合数被其最小的质因数标记，因此可以确保每个合数只被标记一次。

class Solution {
    
    
public:
    int countPrimes(int n) {
    
    
        vector<int> isPrime(n, 1);
        vector<int> Prime;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
    
    
            if (isPrime[i]){
    
    
                Prime.push_back(i);
            } 
                
            for(auto j:Prime) {
    
    
                if ((long long)i * j < n) {
    
    
                    isPrime[i*j] = 0;
                } else {
    
    
                    break;
                }
                if (i % j == 0) break;
            }

        }
        return Prime.size();
    }
};

但是，看似线性筛操作的更少，实际上运行时间会更长，因为进行了更多的运算操作