P1248 & P2123 严格弱序 + 贪心

题意

传送门 P1248 加工生产调度 & P2123 皇后游戏

题解

$P1248$ 中产品 $i$ 完成时间的数学表达式为 $P2123$ 中的 $c_i$，即
$$c_i=\{\begin{array}{ll}{a}_1+b_1& ,i=1\\ \max \{c_{i-1},\sum _{j=1}^i{a}_j\}+b_i& ,2\le i\le n\end{array}$$ 容易观察到 $c_i$ 随着 $i$ 增大而递增，那么目标为最小化 $c_n$。

考虑贪心策略，尝试邻项交换。交换 $i,i+1$ 项不会影响 $c_j(1\le j<i)$，若交换后使 $c_{i+1}$ 不变或更小，则不会使 $c_j(i+1<j\le n)$ 更大。设 $c=c_i,s=\sum _{j=1}^{i+1}$，若满足下式，则交换 $i,i+1$ 项使 $c_{i+1}$ 更小，此时不会使结果更差
max ⁡ { c + b i , s − a i + 1 + b i , s } + b i + 1 > max ⁡ { c + b i + 1 , s − a i + b i + 1 , s } + b i \max\{c+b_i,s-a_{i+1}+b_i,s\}+b_{i+1}>\max\{c+b_{i+1},s-a_i+b_{i+1},s\}+b_i max{ c+bi​,s−ai+1​+bi​,s}+bi+1​>max{ c+bi+1​,s−ai​+bi+1​,s}+bi​ 简单变形得到
max ⁡ { c , s − a i + 1 , s − b i } + b i + b i + 1 > max ⁡ { c , s − a i , s − b i + 1 } + b i + b i + 1 \max\{c,s-a_{i+1},s-b_i\}+b_i+b_{i+1}>\max\{c,s-a_i,s-b_{i+1}\}+b_i+b_{i+1} max{ c,s−ai+1​,s−bi​}+bi​+bi+1​>max{ c,s−ai​,s−bi+1​}+bi​+bi+1​ 若要满足不等号，则不等号取决于左右式中的不公共相同的项。那么有
max ⁡ { − a i + 1 , − b i } > max ⁡ { − a i , − b i + 1 } \max\{-a_{i+1},-b_i\}>\max\{-a_i,-b_{i+1}\} max{ −ai+1​,−bi​}>max{ −ai​,−bi+1​} 变形得到
min ⁡ { a i + 1 , b i } < min ⁡ { a i , b i + 1 } \min\{a_{i+1},b_{i}\}<\min\{a_i,b_{i+1}\} min{ ai+1​,bi​}<min{ ai​,bi+1​} 设关系 $op(i,j)$ 为真时，满足 min ⁡ { a j , b i } > min ⁡ { a i , b j } \min\{a_{j},b_{i}\}>\min\{a_{i},b_{j}\} min{ aj​,bi​}>min{ ai​,bj​}，容易证明其满足非自反性、非对称性与传递性。传递性证明如下，设 $op(i,j),op(j,k)$，则有
min ⁡ { a j , b i } > min ⁡ { a i , b j } ,   min ⁡ { a k , b j } > min ⁡ { a j , b k } \min\{a_{j},b_{i}\}>\min\{a_{i},b_{j}\},\ \min\{a_{k},b_{j}\}>\min\{a_{j},b_{k}\} min{ aj​,bi​}>min{ ai​,bj​}, min{ ak​,bj​}>min{ aj​,bk​} 左右式取 $\min$ 得到 min ⁡ { a j , b j , a k , b i } > min ⁡ { a j , b j , a i , b k } \min\{a_j,b_j,a_k,b_i\}>\min\{a_j,b_j,a_i,b_k\} min{ aj​,bj​,ak​,bi​}>min{ aj​,bj​,ai​,bk​} 与前述同理，若要满足不等号，则不等号取决于左右式中的不公共相同的项，那么有
min ⁡ { a k , b i } > min ⁡ { a i , b k } \min\{a_k,b_i\}>\min\{a_i,b_k\} min{ ak​,bi​}>min{ ai​,bk​} 即 $op(i,k)$，证毕。上述仅证明了关系 $op$ 满足严格偏序，若要使用 $std::sort$ 进行排序，$op$ 还需要满足等价的传递性。加上严格偏序条件，即 $op$ 需要满足严格弱序（Strict Weak Ordering，附上详解 博客）。

$std::sort$ 使用严格的 $<$ 进行排序，若 $i,j$ 满足 $!op(i,j)\&\&!op(j,i)$，那么认为 $i,j$ 是等价的。等价的传递性即，若 $!op(i,j)\&\&!op(j,i)$ 且 $!op(j,k)\&\&!op(k,j)$，则 $!op(i,k)\&\&!op(k,i)$。

关系 $op$ 不满足等价的传递性，这是因为在不等号中加入等号后，前述消去左右式公共相同项的操作不再能保证正确性。需要对关系进行修改，使之在满足邻项交换后可能使答案更差的前提下，保证等价的传递性。$!op(i,j)$ 即满足 min ⁡ { a j , b i } ≤ min ⁡ { a i , b j } \min\{a_{j},b_{i}\}\leq\min\{a_{i},b_{j}\} min{ aj​,bi​}≤min{ ai​,bj​}，$<$ 可以交换左右项后变换为 $>$，显然满足传递性。那么重点考虑 min ⁡ { a j , b i } = min ⁡ { a i , b j } \min\{a_{j},b_{i}\}=\min\{a_{i},b_{j}\} min{ aj​,bi​}=min{ ai​,bj​} 的情况。

反方向考虑前述消去公共相同项的方法，为了使满足等号的影响项尽可能少，尝试添加左右式的公共相等项。考虑 $a_i,a_j$，观察 $c_k$ 的定义，容易发现 $a_i,a_j$ 升序排序不会使结果更差。可以证明，在 min ⁡ { a j , b i } = min ⁡ { a i , b j } \min\{a_{j},b_{i}\}=\min\{a_{i},b_{j}\} min{ aj​,bi​}=min{ ai​,bj​} 情况下将 $a_i,a_j$ 升序排序满足等价的传递性。最终得到排序条件
{ min ⁡ { a j , b i } > min ⁡ { a i , b j } , min ⁡ { a j , b i } ≠ min ⁡ { a i , b j } a i < a j , min ⁡ { a j , b i } = min ⁡ { a i , b j } \begin{cases} \min\{a_j,b_i\}>\min\{a_i,b_j\} & ,\min\{a_j,b_i\}\neq\min\{a_i,b_j\} \\ a_i<a_j & ,\min\{a_j,b_i\}=\min\{a_i,b_j\} \\ \end{cases} { min{ aj​,bi​}>min{ ai​,bj​}ai​<aj​​,min{ aj​,bi​}​=min{ ai​,bj​},min{ aj​,bi​}=min{ ai​,bj​}​ 排序后模拟即可，总时间复杂度 $O(N\log N)$。

$P1248$ 代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1005;
struct people
{
    
    
    int a, b, k;
    bool operator<(const people &o) const
    {
    
    
        return min(o.a, b) != min(a, o.b) ? min(o.a, b) > min(a, o.b) : a < o.a;
    }
} P[maxn];
int N;

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> P[i].a;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> P[i].b, P[i].k = i;
    sort(P, P + N);
    ll c = 0, s = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
    
    
        s += P[i].a;
        c = max(c, s) + P[i].b;
    }
    cout << c << '\n';
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cout << P[i].k + 1 << (i == N - 1 ? '\n' : ' ');
    return 0;
}

$P2123$ 代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 20005;
struct people
{
    
    
    int a, b;
    bool operator<(const people &o) const
    {
    
    
        return min(o.a, b) != min(a, o.b) ? min(o.a, b) > min(a, o.b) : a < o.a;
    }
} P[maxn];
int T, N;

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> T;
    while (T--)
    {
    
    
        cin >> N;
        for (int i = 0; i < N; ++i)
            cin >> P[i].a >> P[i].b;
        sort(P, P + N);
        ll c = 0, s = 0;
        for (int i = 0; i < N; ++i)
        {
    
    
            s += P[i].a;
            c = max(c, s) + P[i].b;
        }
        cout << c << '\n';
    }
    return 0;
}