[NOIP1996 提高组] 挖地雷 （动态规划）

$$燃烧的大脑——动态规划$$

题目大意：

洛谷例题题目传送门！！！

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解题思路：

挖地雷，拥有最优子结构和无后效性特征，考虑DP。

那么接下来问题又来了，DP怎么推，状态是什么? 阶段是什么？
这时候，我们可以在脑海里建一个图：
把每个地窖看成一个节点，把地窖中的地雷数量看成点权，每个连接的地窖之间可以有一条无权边——这时候就很明显了

地窖之间的关系就是一颗带权的树！

然后我们再把样例套进这棵树，观察最优解在树中的关系，我们不难发现——最优解就是点权和最大的一条树须！由于题目说的可能比较抽象（至少我看到那输入输出完全不理解），但是，只要用笔按照树的规律一画，各个数据之间的关系图就一目了然了！

此时，如果把题目的输入省略，那么这个问题就变成了：

给定一颗带点权的树，求点权和最大的一条树须。

把这个例题转换成这样，这个问题就完成了一半，是不是只要和什么最大值最小值有关就下意识的知道接下来的DP该怎么写了——就下来就是烧脑的DP过程，建议洗把脸观看。

首先尝试设定状态：我们把 $d{p}_i$ 记为如果只挖到地窖编号为 $i$ 的时候的最大可挖地雷数。

这时候就要推状态转移方程了，抓稳了。

首先我们考虑某个地窖 i 已经和另外的一堆地窖连接了起来（就是说 i 节点已经是某条树须的某个部分），现在又进来了一个要考虑的地窖组 $j$（注意，这里说的地窖可能是一条树须，也就是说正在考虑的地窖可能也已经和另外的地窖连接起来了），那么此时，我们就要考虑地窖 $i$ 到底要不要和地窖 $j$连接，条件是什么呢？条件就是 ——判断如果地窖 $i$ 和地窖 $j$ 的连接会不会使得 $d{p}_i$ 的答案变差，也就是说不能降低 $d{p}_i$ 的最优解性。
再通俗点讲，就是如果 $i$ 与$j$ 连接后的点权比原本的 $d{p}_i$要大，那么就可以通过连接 $i$和$j$来更新$d{p}_i$。

这不，状态转移方程不就出来了吗？

$d{p}_i$ = $max$（ $d{p}_i$ ，$d{p}_j+a_i$）

最后再来表初始状态，不是有手就行，所有 $d{p}_i$ 一开始都等于 $i$ 的地雷数 $a_i$。

状态转移方程都推出来了，输出挖雷路径不是信手拈来的事？只需要在每次更新节点 $i$ 的时候都将 $i$ 的新父节点记录下来，输出的时候一路向上爬递归输出就行了。

CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,a[30],map[30][30];
int dp[30],sum=0,fre[30],s,ans[30],t=0;
void input()
{
    
    
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
    
    
	  	cin>>a[i];
	  	dp[i]=a[i];  //初始化 
	  	fre[i]=i;
	  	if(sum<dp[i]) s=i;
	  	sum=max(sum,dp[i]);
	  }
	for(int i=1;i<n;i++)
	  {
    
    
	  	for(int j=i+1;j<=n;j++)
	  	  cin>>map[i][j];
	  }
}

void DP()
{
    
    
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
    
    
	  	for(int j=i+1;j<=n;j++)
	  	  {
    
    
	  	     if(map[i][j]==0) continue;
	  	     if(dp[j]<dp[i]+a[j])
	  	       fre[j]=i;  //记下父节点 
			 dp[j]=max(dp[j],dp[i]+a[j]);	//状态转移方程 
			 if(sum<dp[j])
			   s=j;
			 sum=max(sum,dp[j]);  //点权和 
		  }
	  }
	int i=s;
	while(fre[i]!=i)
	  {
    
    
	  	t++;
	  	ans[t]=i;
	  	i=fre[i];
	  }  //循环代替地柜输出 
	t++;
	ans[t]=i;
	for(int i=t;i>=1;i--)
	  cout<<ans[i]<<' ';
	cout<<endl<<sum;
}

int main()
{
    
    
	input();
	DP();
	return 0;
}

总结：

遇见动归，不要着急写代码，要理清思路，摸到状态转移方程再下手，否则会蒙的！

DP是个博大精深的算法，他非常考验OIer的思维能力，推出状态转移方程更是绝度烧脑，但是当自己做出一道DP题的时候，那种喜悦也是双倍的。

让你们看看我的双倍快乐