挖地雷问题

问题描述

在一条公路上埋有若干堆地雷，每堆地雷有一定的数量，地雷堆的编号为1，2，…，N，例如，埋有地雷数量如下：8 14 2 17 33 26 15 17 19 6此时，地雷的数量可用一维数组A（N）表示。同时，给出地雷堆之间的联系，从第1堆开始，它指出挖了此堆之后，还可以选择继续往下挖，若存在多种方案，只能选择其中的一种，若没有任何后继的方案，则挖地雷结束。例如，可给出下面的关系:

地雷堆之间的联系可用以下的数组表示:
二维整数型数组R（I，J）表示，当R（I，J）=1表示从I到J有通路，当R（I，J）=0表示无通路。上图的R如下所示：

最终，找出可以挖到地雷的最大值

DP

主要思想

其实刚开始看到这个地雷图就想到了DAG问题。下面就用动态规划求解这个问题。对于第i堆地雷来说，选择能够挖最多的那条路径，就是下面这个递推公式。dp[i][j]表示i到j上的最大值，但是只有通过和i相连的那些路径才能够通向更远。因为是单向图，所以在这里，填表要从下向上填表。
dp[i][j]=a[i]+max{dp[m][j],R[i][m]=1且m<=j}

Java代码实现

        /**
	 * 求最大地雷数
	 * @param a ai表示第i堆的地雷个数
	 * @param r r(i,j)表示i和j之间是否存在通路
	 */
	public static void getMax(int[]a,int[][]r) {
		int n=r.length;//个数
		int[][] dp=new int[n][n];//dp(i,j)表示i到j之间可以挖到的最大数量
		int[][]path=new int[n][n];
		//初值
		for(int i=0;i<n;i++) {
			dp[i][i]=a[i];
			path[i][i]=i;
		}
		for(int i=0;i<n;i++) {
			for(int j=i+1;j<n;j++) {//上三角矩阵
				if(r[i][j]==1)
				{
					dp[i][j]=a[i]+a[j];
					path[i][j]=j;
				}else {
					path[i][j]=-1;
				}
			}
		}
		//填表,从下方开始填表
		for(int i=n-1;i>=0;i--) {
			for(int j=i+1;j<n;j++) {
				for(int m=0;m<=j;m++) {
					if(r[i][m]==1)
						{
						//dp[i][j]=Math.max(a[i]+dp[m][j],dp[i][j]);
						int temp=a[i]+dp[m][j];
						if(temp>dp[i][j])
							{
							dp[i][j]=temp;
							path[i][j]=m;
							}
						}
				}
			}
		}
		//找到表中的最大值
		int max=0,x = 0,y = 0;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			for(int j=i;j<n;j++) {
				if(max<dp[i][j])
					{
					max=dp[i][j];
					x=i;y=j;
					}
			}
		}
		//输出最优解
		System.out.println("先挖第"+(1+x)+"堆");
		while(x!=y) {
			x=path[x][y];
			System.out.println("再向下挖第"+(1+x)+"堆");
		}
		System.out.println("最多挖到"+max+"堆雷");
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scn=new Scanner(System.in);
		int n=scn.nextInt();//个数
		int[]a=new int[n];
		for(int i=0;i<n;i++) {
			a[i]=scn.nextInt();
		}
		int[][]r=new int[n][n];
		for(int i=0;i<n;i++) {
			for(int j=i+1;j<n;j++) {
				r[i][j]=scn.nextInt();
			}
		}
		getMax(a,r);
	}

运行结果