1思路：什么是增广链？
对于一个网络流，如何求解最大流呢？我们当然希望流量越多越好，因此考虑不断增加流量。当然，需要寻找一条从 S 到 T 的路径，其中每一条边的目前流量<容量，即存在增加流量的空间。我们暂且称这样的路径为增广链，也就是有提升流量空间的路径。比如下图中，S → V1 → V3 → T 就是一条增广链。
Ford-Fulkerson 算法的做法，也许有同学已经猜到了，就是不断寻找增广链，然后增加流量直到有条边饱和——流量=容量。具体来说，用 BFS 来寻找任意一条增广链，中途记录下增广链上，每个节点的前一个节点；然后从增广链的出发点 S 走向 T，记录下中间 “ 残留 ” 流量（容量 - 流量）的最小值；再重新遍历一遍这条增广链，更新流量。最后的最大流为每次增加的流量累计之和，循环至最后没有增广链为止（无法继续增广）。
如果你兴高采烈地开始敲键盘了，那就犯了一个错误哦。之前举的例子其实是一个反例，由于 BFS 选择的增广链是任意的，我们一开始完全可以选择 S → V1 → V4 → T，然后一起增加流量 1。之后分别选择上面和下面的两条增广链进行增广，所以求出的最大流为 3，不过显然是错误的。正确的应该是除了中间的一条边，其余均满流（流量 = 容量），最大流为 4。
为了解决这个问题，我们发现，边其实可以 “ 反流 ”，即反向边。如果按照原图的流向流量为 1，之后可以把 1 再流回去。所以哪怕第一个找到了 S → V1 → V4 → T 这条增广链，之后可以寻找 S → V2 → V4 → V1 → V3 → T 进行更新，避免这个错误。在实现时，可以存储为双向边，不过需要记录下在原图中的方向。在计算剩余流量（增加流量的空间）时，如果是原来的方向，就返回容量 - 流量；如果是反向边，即倒着流回去流量的，就返回目前的流量。
说了大致的思路，总要来写代码了吧。Ford - Fulkerson 虽然听起来比较简单，但实际上代码有一点长。主体程序就是一个大循环，通过 BFS 寻找增广链（结果存在 edgeTo[] 里，是从 T 出发往前倒着记录的），如果不存在直接退出；反之找到最小剩余流量，再更新流量。当然，如果不需要保留原来的容量 ca ( capacity )，那么也可以只记录残余流量 ( ca - flow )。
其中，一条边需要记录 from 和 to，代表原图中的方向（判断是否为反向边）；fid 和 tid 用于更新流量，为了找回这条边在 map[from] 和 map[to] 里的位置（邻接表才需要的）。get_other() 函数可以求出这条边的另一个节点编号，get_left() 可以求出这条边的残余流量，find() 可以寻找一条增广链并进行更新（增广）。最大流的结果存储在 ans 里，即同步的累加器。
对于一个算法，必须有复杂度的分析和估计。先来考虑空间复杂度，如果用邻接矩阵，可能会存不下，但没有存储位置标号等的需要了。所以建议使用邻接表，这样就不太需要担心空间的问题了。
Ford-Fulkerson 算法其实比较慢，仔细算算，每次要跑一遍 BFS、两遍增广链。不过，一共需要找多少条增广链呢？实际上无法给出确切的值（参考之前举的 “ 反例 ”，容量可以很大），但由于容量是有限的，最大流是有限的，那么一定能在有限步之内结束。具体的时间复杂度取决于求出增广链的方法等，今天介绍的方法时间复杂度上限为 O ( n × m × m )，其中 n 为节点数、m 为边数。
虽然 Ford-Fulkerson 算法并不快，尤其是节点数超过 1000、图是故意出成特殊情况的时候，但是它比较好理解、比较好写代码，是最大流算法的基础思想。同时还可以进一步优化，其他相关算法我们之后再介绍。网络流的题目还是要多练习，才能够找到建图的技巧，最后运用最大流的算法解题。
再来讲一个有趣的 “ 八卦 ” 收尾吧，还记得不久前介绍的 Bellman-Ford 算法 吗？不就是用于求解单源最短路问题嘛，突然发现 Ford 同时出现在两个算法的命名里！确实是同一个 人，真是个了不起的数学家。原来算法之间也有这种联系，是不是很有意思呢？