最大流
就如同水流，存在一张图，既有起点又有终点，从起点流向终点的最大流量就是最大流。
在上面的图假设1为起点，4为终点，那么最大流就为3。
即1 -> 3 ->4和1 -> 2 -> 4两条流的流量之和，而可以知道每条路的流量取决于这条路的短板，即最小的边。
FF算法：
增广路：
如果在计算最大流时，跑过了一条路（比如1 -> 3 -> 4，这条路的流量为2）那么这条路上的所有边都应该减去这条路的流量。这么做显然易见，因为就是减去每条边被占用的流量，通常一条边被减剩下的容量就成为残余流量。
那么增广路就是从起点到终点所有边都不为零的一条路
反边：
FF算法其实就是每次dfs然后找增广路，并把路上的所有边都减去这条路的流量，所有路的流量之和就是最大流。
但是问题来了，有时可能会出现错误增广路，换句话说每次dfs的增广路不一定是最优的。
比如在上图，如果一开始走1 -> 2 -> 3 ->4那么接下来就没有增广路了。因为3 -> 4这条边被用了, 从而1 -> 3这条边的流没法流向终点。那么此时就需要建立一条反边。即建立一条从3 -> 2的边。
当走增广路时，我们减去正向边的容量，给反向边加上对应的容量。
那么在跑完1 -> 2 -> 3 ->4之后，2 -> 3 的容量为1，而3 -> 2(即反边)的容量为2，那么在下次跑最短路时从1 -> 3之后就可以沿着反路走3 -> 2。然后再走2 -> 4。于是最终仍然得到了正确的最大流。
关于最反边，我个人会有以下几种疑虑
- 加了反边会不会出现dfs出无限条增广路？
- 加了反边，最大流的实际值会不会被影响？
经过思考之后我觉着可以这么解释：
对于1来说是不可能的，因为流只能从起点流量终点，当起点连接的边的容量被耗尽时，流无论如何都无法流出，所以加了反边之后增广路不可能是无限的。
对于2我是这么想的，既然原本算的不是最优，那么说明最优的路被某条边占用，那么占用的那条路一定用的不是最优的路，即它空出来了一条路，那么此时就可以借助反边去填补空出来的路，实际上就是A走了B的路，然后就给B一个机会去走A的路，由于最终流量是A，B两条路之和，所以最终流量没有改变。
关于反边的表示就很简单了，用偶数表示正边，相邻的奇数表示对应的反边，正边找反边时或者反边找正边时只需要对1进行异或即可
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n,m,cnt = 2,h[maxn];
int st,ed;
bool vis[maxn];
struct node{
int w,e,nex;
}e[maxn * 2];
void add(int a,int b,int c){
e[cnt].e = b;
e[cnt].nex = h[a];
e[cnt].w = c;
h[a] = cnt++;
}
int dfs(int x,int flow){
//参数为当前节点与当前该增光路的最大流
vis[x] = 1;
if(ed == x)return flow;//如果到达终点就返回
for(int i = h[x]; i ; i = e[i].nex){
int endd = e[i].e,w = e[i].w;
if(!vis[endd] && w){
//不被访问而且该路仍有流就可以走
int g = dfs(endd, min(flow,w));//走一遍该路，当前流最大值取决于短板
if(g){
e[i].w -= g;//当前流减少g
e[i ^ 1].w += g;//对应的反边增加g
return g;
}
}
}
return 0;
}
int main(){
int a,b,c;
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&st,&ed);
for(int i = 1; i <= m; i++){
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);//正边
add(b,a,0);//反边
}
int ans = 0;
while(true){
memset(vis,0,sizeof vis);
int g = dfs(st,INF);
if(!g)break;//如果流为空就退出
else ans += g;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
/*
4 5 1 4
1 2 4
1 3 3
2 3 2
2 4 2
3 4 6
*/
Dinic算法：
Dinic算法使用的是分层图对FF算法进行了优化。
对于每一个节点，人为规定它只能流向它的下一层，如果不流通就结束dfs。
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n,m,cnt = 2,h[maxn];
int st,ed,dep[maxn];//dep用来存节点的深度
struct node{
int w,e,nex;
}e[maxn * 2];
void add(int a,int b,int c){
e[cnt].e = b;
e[cnt].nex = h[a];
e[cnt].w = c;
h[a] = cnt++;
}
bool bfs(){
//用于判断当前道路是否流通
memset(dep,0,sizeof dep);//清空数组
dep[st] = 1;
queue<int> qu;
qu.push(st);
while(!qu.empty()){
int t = qu.front();
qu.pop();
for(int i = h[t]; i ; i = e[i].nex){
int endd = e[i].e,w = e[i].w;
if(w && !dep[endd]){
//没被标记，以及仍然有残余流量就继续走
dep[endd] = dep[t] + 1;
qu.push(endd);
}
}
}
if(!dep[ed])return false;//到不达就返回否
else return true;
}
int dfs(int x,int flow){
//参数为当前节点与当前流向该节点的流
if(ed == x)return flow;//如果到达终点就返回
int sum = 0;//表示当前的最大流
for(int i = h[x]; i ; i = e[i].nex){
int endd = e[i].e,w = e[i].w;
if(dep[x] + 1 == dep[endd] && w){
// 只走下一层
int g = dfs(endd, min(flow,w));//走一遍该路，当前流最大值取决于短板
flow -= g,sum += g;//到达x的流量减少g，当前的最大流增加g
e[i].w -= g;//当前流减少g
e[i ^ 1].w += g;//对应的反边增加g
}
if(!flow)break;//如果当前已经没有流到x的流了就退出
}
if(!sum)dep[x] = 0;//如果当前的最大流为0那么说明此节点之后的层不可能流向终点，那么就不要让其他节点的流再经过这个节点了
return sum;//返回当前最大流
}
int main(){
int a,b,c;
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&st,&ed);
for(int i = 1; i <= m; i++){
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);//正边
add(b,a,0);//反边
}
int ans = 0;
while(bfs())ans += dfs(st,INF);
printf("%d",ans);
return 0;
}
Dinic + 当前弧优化
其实就是如果说一个点后面的层已经没有任何流量的的贡献了，那么就可以不跑这个点了，所以只需要加一个cur数组记录剩下的边就好了
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n,m,cnt = 2,h[maxn];
int st,ed,dep[maxn],cur[maxn];//dep用来存节点的深度
struct node{
int w,e,nex;
}e[maxn * 2];
void add(int a,int b,int c){
e[cnt].e = b;
e[cnt].nex = h[a];
e[cnt].w = c;
h[a] = cnt++;
}
bool bfs(){
//用于判断当前道路是否流通
memset(dep,0,sizeof dep);//清空数组
memcpy(cur,h,sizeof h);//每次都要复制一下h
dep[st] = 1;
queue<int> qu;
qu.push(st);
while(!qu.empty()){
int t = qu.front();
qu.pop();
for(int i = h[t]; i ; i = e[i].nex){
int endd = e[i].e,w = e[i].w;
if(w && !dep[endd]){
dep[endd] = dep[t] + 1;
qu.push(endd);
}
}
}
if(!dep[ed])return false;
else return true;
}
int dfs(int x,int flow){
if(ed == x)return flow;
int sum = 0;
for(int i = cur[x]; i ; i = e[i].nex){
cur[x] = i;//记录剩下的边
int endd = e[i].e,w = e[i].w;
if(dep[x] + 1 == dep[endd] && w){
int g = dfs(endd, min(flow,w));
flow -= g,sum += g;
e[i].w -= g;
e[i ^ 1].w += g;
}
if(!flow)break;
}
if(!sum)dep[x] = 0;
return sum;
}
int main(){
int a,b,c;
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&st,&ed);
for(int i = 1; i <= m; i++){
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);//正边
add(b,a,0);//反边
}
int ans = 0;
while(bfs())ans += dfs(st,INF);
printf("%d",ans);
return 0;
}
洛谷板子题
注意范围，板子没问题的，题中可能爆int