本文主要讲解最大流问题的Ford-Fulkerson解法。可以说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。

在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。

举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。

当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。

接下来我们就介绍如何寻找增广路径。在介绍增广路径之前，我们首先需要介绍残留网络的概念。

残留网络

顾名思义，残留网络是指给定网络和一个流，其对应还可以容纳的流组成的网络。具体说来，就是假定一个网络G=（V，E），其源点s，汇点t。设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流。在不超过C（u，v）的条件下（C代表边容量），从u到v之间可以压入的额外网络流量，就是边（u，v）的残余容量（residual capacity），定义如下：

r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）

举个例子，假设（u，v）当前流量为3/4，那么就是说c（u，v）=4，f（u，v）=3，那么r（u，v）=1。

我们知道，在网络流中还有这么一条规律。从u到v已经有了3个单位流量，那么从反方向上看，也就是从v到u就有了3个单位的残留网络，这时r（v，u）=3。可以这样理解，从u到v有3个单位流量，那么从v到u就有了将这3个单位流量的压回去的能力。

我们来具体看一个例子，如下图所示一个流网络

其对应的残留网络为：

增广路径

在了解了残留网络后，我们来介绍增广路径。已知一个流网络G和流f，增广路径p是其残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。形象的理解为从s到t存在一条不违反边容量的路径，向这条路径压入流量，可以增加整个网络的流值。上面的残留网络中，存在这样一条增广路径：

其可以压入4个单位的流量，压入后，我们得到一个新的流网络，其流量比原来的流网络要多4。这时我们继续在新的流网络上用同样的方法寻找增广路径，直到找不到为止。这时我们就得到了一个最大的网络流。

流网络的割

上面仅仅是介绍了方法，可是怎么证明当无法再寻找到增广路径时，就证明当前网络是最大流网络呢？这就需要用到最大流最小割定理。

首先介绍下，割的概念。流网络G（V，E）的割（S，T）将V划分为S和T=V-S两部分，使得s属于S，t属于T。割（S，T）的容量是指从集合S到集合T的所有边（有方向）的容量之和（不算反方向的，必须是S-àT）。如果f是一个流，则穿过割（S，T）的净流量被定义为f（S，T）（包括反向的，SàT的为正值，T—>S的负值）。将上面举的例子继续拿来，随便画一个割，如下图所示：

割的容量就是c(u,w)+c(v,x)=26

当前流网络的穿过割的净流量为f(u,w)+f(v,x)-f(w,v)=12+11-4=19

显然，我们有对任意一个割，穿过该割的净流量上界就是该割的容量，即不可能超过割的容量。所以网络的最大流必然无法超过网络的最小割。

可是，这跟残留网络上的增广路径有什么关系呢？

首先，我们必须了解一个特性，根据上一篇文章中讲到的最大流问题的线性规划表示时，提到，流网络的流量守恒的原则，根据这个原则我们可以知道，对网络的任意割，其净流量的都是相等的。具体证明是不难的，可以通过下图形象的理解下，

和上面的割相比，集合S中少了u和v，从源点s到集合T的净流量都流向了u和v，而在上一个割图中，集合S到集合T的流量是等于u和v到集合T的净流量的。其中w也有流流向了u和v，而这部分流无法流向源点s，因为没有路径，所以最后这部分流量加上s到u和v的流量，在u和v之间无论如何互相传递流，最终都要流向集合T，所以这个流量值是等于s流向u和v的值的。将s比喻成一个水龙头，u和v流向别处的水流，都是来自s的，其自身不可能创造水流。所以任意割的净流量都是相等的。

万事俱备，现在来证明当残留网络Gf中不包含增广路径时，f是G的最大流。

假设Gf中不包含增广路径，即Gf不包含从s到v的路径，定义S={v:Gf中从s到v存在一条通路}，也就是Gf中s能够有通路到达的点的集合，显然这个集合不包括t，因为s到t没有通路。这时，我们令T=V-S。那么（S，T）就是一个割。如下图所示：

那么，对于顶点u属于S，v属于T，有f（u，v）=c（u，v）。否则（u，v）就存在残余流量，因而s到u加上u到v就构成了一条s到v的通路，所以v就必须属于S，矛盾。因此这时就表明当前流f是等于当前的割的容量的，因此f就是最大流。

Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法的正确性依赖于这个定理：当残存网络中不存在一条从s到t的增广路径，那么该图已经达到最大流。这个定理的证明及一些与其等同的定理可以参考《算法导论》。

Ford-Fulkerson方法的伪代码如下。其中<u,v>代表顶点u到顶点v的一条边，<u,v>.f表示该边的流量，c是边容量矩阵，c(i,j)表示边<i,j>的容量，当边<i,j>不存在时，c(i,j)=0。e为残存网络矩阵，e(i,j)表示边<i,j>的值，当边<i,j>不存在时，e(i,j)=0。E表示边的集合。f表示流网络。

Ford-Fulkerson
 
    for <u,v> ∈ E
 
        <u,v>.f = 0
 
    while find a route from s to t in e
 
        m = min(<u,v>.f, <u,v>  ∈ route)
 
        for <u,v> ∈ route
 
            if <u,v>  ∈ f
 
                <u,v>.f = <u,v>.f + m
 
            else
 
                <v,u>.f = <v,u>.f - m

Ford-Fulkerson方法首先对图中的所有边的流量初始化为零值，然后开始进入循环：如果在残存网络中可以找到一条从s到t的增广路径，那么要找到这条这条路径上值最小的边，然后根据该值来更新流网络。

Ford-Fulkerson有很多种实现，主要不同点在于如何寻找增广路径。最开始提出该方法的Ford和Fulkerson同学在其论文中都是使用广度优先搜索实现的，其时间复杂度为O(VE)，整个算法的时间复杂度为O(VE^2)。

代码实现

Edge:

package com.darrenchan.graph.FordFulkerson;

/**
 * 网络中的边
 */
public class Edge {

    private int v1;
    private int v2;
    private int capacity;
    private int flow;

    public Edge(int v1,int v2,int flow,int capacity){
        this.v1 = v1;
        this.v2 = v2;
        this.capacity = capacity;
        this.flow = flow;
    }

    public int getV1(){
        return v1;
    }

    public int getV2(){
        return v2;
    }

    public int getCapacity(){
        return capacity;
    }

    public int getFlow(){
        return flow;
    }

    public void setFlow(int f){
        flow = f;
    }
}

Edge2:

package com.darrenchan.graph.FordFulkerson;

/**
 * 残存网络中的边
 */
public class Edge2 {
    private int v1;
    private int v2;
    private int flow;

    public Edge2(int v1,int v2,int flow){
        this.v1 = v1;
        this.v2 = v2;
        this.flow = flow;
    }

    public int getV1(){
        return v1;
    }

    public int getV2(){
        return v2;
    }

    public int getFlow(){
        return flow;
    }

    public void setFlow(int f){
        flow = f;
    }
}

Gf:

package com.darrenchan.graph.FordFulkerson;

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class Gf {
    private int vNum;
    private int eNum;
    private LinkedList<Edge2>[] GLists;

    public Gf(int n){
        vNum = n;
        eNum = 0;
        GLists = new LinkedList[n];

        for(int i = 0;i<n;i++)
            GLists[i] = new LinkedList<>();
    }

    public void insertEdge(Edge2 e){
        int v1 = e.getV1();
        GLists[v1].add(e);
        eNum++;
    }

    /**
     * 返回一条增广路径
     * @return
     */
    public LinkedList<Integer> augmentingPath(){

        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();
        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
        int[] reached = new int[vNum];
        int[] preNode = new int[vNum];
        for(int i = 0;i<vNum;i++){
            reached[i] = 0;
            preNode[i] = -1;
        }
        preNode[0] = -1;

        reached[0] = 1;
        queue.add(0);
        while(!queue.isEmpty()){//没有循环起来
            int now = queue.poll();

            LinkedList<Edge2> inlist = (LinkedList<Edge2>) GLists[now].clone();

            while(!inlist.isEmpty()){

                Edge2 e = inlist.pop();
                int v2 = e.getV2();

                if(reached[v2]==0){
                    queue.add(v2);
                    reached[v2] = 1;
                    preNode[v2] = now;
                }
            }
        }

        for(int i = 0;i<vNum;i++){
            System.out.println(reached[i]+"     "+preNode[i]);
        }

        if(reached[vNum-1]==0){
            //System.out.println("here");
            return list;

        }

        int pointnum = vNum-1;
        while(pointnum!=-1){
            list.add(0, pointnum);
            pointnum = preNode[pointnum];
        }

        return list;
    }

    /**
     * 根据增广路径得到需要调整的值
     * 找到增广路径中最小的边
     * @param list
     * @return
     */
    public int changeNum(LinkedList<Integer> list){
        if(list.equals(null))
            return 0;
        int minchange = 1000;
        int v1 = 0;
        for(int i = 1;i<list.size();i++){
            int v2 = list.get(i);
            LinkedList<Edge2> elist = (LinkedList<Edge2>) GLists[v1].clone();
            Edge2 edge = elist.pop();
            while(edge.getV2()!=v2){
                edge = elist.pop();
            }
            if(minchange>edge.getFlow())
                minchange = edge.getFlow();

            v1 = v2;
        }

        return minchange;
    }

    public void bianli(){
        System.out.println("残存网络 共 "+vNum+" 个顶点， "+eNum+" 条边");
        for(int i = 0;i<vNum;i++){
            if(GLists[i].size()==0){
                System.out.println(i+"没有后继");
                continue;
            }
            for(int j = 0;j<GLists[i].size();j++){
                Edge2 e = GLists[i].get(j);
                System.out.println("[ "+e.getV1()+" , "+e.getV2()+" , "+e.getFlow()+" ]");
            }
        }
    }

}

Graph:

package com.darrenchan.graph.FordFulkerson;

import java.util.LinkedList;

public class Graph {
    private int vNum;
    private int eNum;
    private Gf gf;
    private LinkedList<Edge>[] GLists;

    public Graph(int n){
        vNum = n;
        eNum = 0;
        GLists = new LinkedList[n];

        for(int i = 0;i<n;i++)
            GLists[i] = new LinkedList<>();
    }

    public void insertEdge(Edge e){
        int v1 = e.getV1();
        GLists[v1].add(e);
        eNum++;
    }


    public void produceGf(){
        gf = new Gf(vNum);

        for(int i = 0;i<vNum;i++){
            LinkedList<Edge> list = (LinkedList<Edge>) GLists[i].clone();

            while(!list.isEmpty()){

                Edge edge = list.pop();
                int v1 = edge.getV1();
                int v2 = edge.getV2();
                int flow = edge.getFlow();
                int capacity = edge.getCapacity();

                if(flow==0){
                    gf.insertEdge(new Edge2(v1,v2,capacity));
                }else{
                    if(flow==capacity){
                        gf.insertEdge(new Edge2(v2,v1,capacity));
                    }else if(flow<capacity){
                        gf.insertEdge(new Edge2(v1,v2,capacity-flow));
                        gf.insertEdge(new Edge2(v2,v1,flow));
                    }
                }
            }
        }
    }

    public Gf getGf(){
        return gf;
    }

    private LinkedList<Integer> augmentingPath(){
        return gf.augmentingPath();
    }

    private int changeNum(LinkedList<Integer> list){
        return gf.changeNum(list);
    }

    /**
     * 最大流
     */
    public void MaxFlow(){
        produceGf();
        gf.bianli();
        LinkedList<Integer> list = augmentingPath();

        while(list.size()>0){

            int changenum = changeNum(list);

            LinkedList<Integer> copylist = (LinkedList<Integer>) list.clone();//调试
            System.out.println("list:");
            while(!copylist.isEmpty()){
                System.out.print(copylist.pop()+"  ");
            }
            System.out.println();
            System.out.println("changenum: "+changenum);

            int v1 = 0;
            for(int i = 1;i<list.size();i++){
                int v2 = list.get(i);
                if(!GLists[v1].isEmpty()){
                    int j = 0;
                    Edge e = GLists[v1].get(j);
                    while(e.getV2()!=v2 && j<GLists[v1].size()){
                        e = GLists[v1].get(j);
                        j++;
                    }
                    if(e.getV2()!=v2 && j==GLists[v1].size()){//调试
                        j = 0;
                        e = GLists[v2].get(j);
                        while(e.getV2()!=v1 && j<GLists[v2].size()){
                            e = GLists[v2].get(j);
                            j++;
                        }

                    }
                    e.setFlow(e.getFlow()+changenum);
                }
                v1  = v2;

            }
            bianli();
            produceGf();
            gf.bianli();
            list = augmentingPath();
        }
    }

    public void bianli(){
        System.out.println("共有 "+vNum+" 个顶点， "+eNum+" 条边");
        for(int i = 0;i<vNum;i++){
            if(GLists[i].size()==0)
                continue;
            for(int j = 0;j<GLists[i].size();j++){
                Edge e = GLists[i].get(j);
                System.out.println("[ "+e.getV1()+" , "+e.getV2()+" , "+e.getFlow()+" , "+e.getCapacity()+" ]");
            }
        }
    }

    public void showResult(){
        bianli();
        int maxflow = 0;

        for(int i = 0;i<vNum;i++){
            if(GLists[i].size()>0){
                for(int j = 0;j<GLists[i].size();j++){
                    if(GLists[i].get(j).getV2() == vNum-1){
                        maxflow += GLists[i].get(j).getFlow();
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("最大流为 "+maxflow);

    }

}

Main:

package com.darrenchan.graph.FordFulkerson;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        test();
    }

    private static void test(){
        Graph graph = new Graph(6);
        Edge[] edges = new Edge[9];

        edges[0] = new Edge(0,1,0,16);
        edges[1] = new Edge(0,2,0,13);
        edges[2] = new Edge(1,3,0,12);
        edges[3] = new Edge(2,1,0,4);
        edges[4] = new Edge(2,4,0,14);
        edges[5] = new Edge(3,2,0,9);
        edges[6] = new Edge(3,5,0,20);
        edges[7] = new Edge(4,3,0,7);
        edges[8] = new Edge(4,5,0,4);

        for(int i = 0;i<9;i++)
            graph.insertEdge(edges[i]);

        graph.MaxFlow();
        graph.showResult();
    }

    public static void test2(){
        Graph graph = new Graph(6);

        Edge[] edges = new Edge[9];
        edges[0] = new Edge(0,1,4,16);
        edges[1] = new Edge(0,2,0,13);
        edges[2] = new Edge(1,3,4,12);
        edges[3] = new Edge(2,1,0,4);
        edges[4] = new Edge(2,4,4,14);
        edges[5] = new Edge(3,2,4,9);
        edges[6] = new Edge(3,5,0,20);
        edges[7] = new Edge(4,3,0,7);
        edges[8] = new Edge(4,5,4,4);

        for(int i = 0;i<9;i++)
            graph.insertEdge(edges[i]);

        graph.bianli();

        graph.MaxFlow();
        graph.bianli();
    }

}

运行结果：

残存网络共 6 个顶点， 9 条边
[ 0 , 1 , 16 ]
[ 0 , 2 , 13 ]
[ 1 , 3 , 12 ]
[ 2 , 1 , 4 ]
[ 2 , 4 , 14 ]
[ 3 , 2 , 9 ]
[ 3 , 5 , 20 ]
[ 4 , 3 , 7 ]
[ 4 , 5 , 4 ]
5没有后继
1 -1
1 0
1 0
1 1
1 2
1 3
list:
0 1 3 5
changenum: 12
共有 6 个顶点， 9 条边
[ 0 , 1 , 12 , 16 ]
[ 0 , 2 , 0 , 13 ]
[ 1 , 3 , 12 , 12 ]
[ 2 , 1 , 0 , 4 ]
[ 2 , 4 , 0 , 14 ]
[ 3 , 2 , 0 , 9 ]
[ 3 , 5 , 12 , 20 ]
[ 4 , 3 , 0 , 7 ]
[ 4 , 5 , 0 , 4 ]
残存网络共 6 个顶点， 11 条边
[ 0 , 1 , 4 ]
[ 0 , 2 , 13 ]
[ 1 , 0 , 12 ]
[ 2 , 1 , 4 ]
[ 2 , 4 , 14 ]
[ 3 , 1 , 12 ]
[ 3 , 2 , 9 ]
[ 3 , 5 , 8 ]
[ 4 , 3 , 7 ]
[ 4 , 5 , 4 ]
[ 5 , 3 , 12 ]
1 -1
1 0
1 0
1 4
1 2
1 4
list:
0 2 4 5
changenum: 4
共有 6 个顶点， 9 条边
[ 0 , 1 , 12 , 16 ]
[ 0 , 2 , 4 , 13 ]
[ 1 , 3 , 12 , 12 ]
[ 2 , 1 , 0 , 4 ]
[ 2 , 4 , 4 , 14 ]
[ 3 , 2 , 0 , 9 ]
[ 3 , 5 , 12 , 20 ]
[ 4 , 3 , 0 , 7 ]
[ 4 , 5 , 4 , 4 ]
残存网络共 6 个顶点， 13 条边
[ 0 , 1 , 4 ]
[ 0 , 2 , 9 ]
[ 1 , 0 , 12 ]
[ 2 , 0 , 4 ]
[ 2 , 1 , 4 ]
[ 2 , 4 , 10 ]
[ 3 , 1 , 12 ]
[ 3 , 2 , 9 ]
[ 3 , 5 , 8 ]
[ 4 , 2 , 4 ]
[ 4 , 3 , 7 ]
[ 5 , 3 , 12 ]
[ 5 , 4 , 4 ]
1 -1
1 0
1 0
1 4
1 2
1 3
list:
0 2 4 3 5
changenum: 7
共有 6 个顶点， 9 条边
[ 0 , 1 , 12 , 16 ]
[ 0 , 2 , 11 , 13 ]
[ 1 , 3 , 12 , 12 ]
[ 2 , 1 , 0 , 4 ]
[ 2 , 4 , 11 , 14 ]
[ 3 , 2 , 0 , 9 ]
[ 3 , 5 , 19 , 20 ]
[ 4 , 3 , 7 , 7 ]
[ 4 , 5 , 4 , 4 ]
残存网络共 6 个顶点， 13 条边
[ 0 , 1 , 4 ]
[ 0 , 2 , 2 ]
[ 1 , 0 , 12 ]
[ 2 , 0 , 11 ]
[ 2 , 1 , 4 ]
[ 2 , 4 , 3 ]
[ 3 , 1 , 12 ]
[ 3 , 2 , 9 ]
[ 3 , 5 , 1 ]
[ 3 , 4 , 7 ]
[ 4 , 2 , 11 ]
[ 5 , 3 , 19 ]
[ 5 , 4 , 4 ]
1 -1
1 0
1 0
0 -1
1 2
0 -1
共有 6 个顶点， 9 条边
[ 0 , 1 , 12 , 16 ]
[ 0 , 2 , 11 , 13 ]
[ 1 , 3 , 12 , 12 ]
[ 2 , 1 , 0 , 4 ]
[ 2 , 4 , 11 , 14 ]
[ 3 , 2 , 0 , 9 ]
[ 3 , 5 , 19 , 20 ]
[ 4 , 3 , 7 , 7 ]
[ 4 , 5 , 4 , 4 ]
最大流为 23

参考：

https://blog.csdn.net/john_bian/article/details/74734243

https://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9293665/

https://blog.csdn.net/ivan_zgj/article/details/51580993

[数据结构]最大流之Ford-Fulkerson算法

残留网络

增广路径

流网络的割

Ford-Fulkerson方法

代码实现

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