解线性方程组之高斯消元入门

一.线性方程组的概念.

线性方程组，即方程中每一项次数都为一次的方程组.

回忆初中学的二元一次方程组，就是一种特殊的线性方程组.而线性方程组的解法与二元一次方程组的解法类似，通常只有代入法和加减消元法.

但是计算机的求解过程讲究程序化，所以我们要有一种特定的求解方式，于是高斯消元应运而生.

二.高斯消元.

高斯消元的过程就是在模拟加减消元得到一个未知量的解后，通过把这个解回代得到方程组的解.

具体来说，若我们现在有一个由n个未知量和n个方程组成的方程组，表现形式如下：
$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2\\ ...\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n,n}x_n=b_n \end{matrix}\right.$
那么高斯消元会将这个方程组对应成一个 $n*(n+1)$ 的矩阵，其中前 $n$ 列是方程中每一项的系数，第 $n+1$ 列是方程中的常数项，具体为：
$\begin{bmatrix} a_{1,1},a_{1,2},...,a_{1,n},b_1\\ a_{2,1},a_{2,2},...,a_{2,n},b_2\\ ...\\ a_{n,1},a_{n,2},...,a_{n,n},b_n \end{bmatrix}$
得到了这么一个矩阵后，高斯消元就要把这个矩阵消成一个上三角矩阵，即对角线以下的所有值均为0的矩阵.

具体来说，我们模拟加减消元，第i步把第i行以下的所有矩阵的第i列的元素删完（消成0），然后我们就会得到一个上三角矩阵.实现时，通常会先把第i行的第i项变为1，然后用第行去消除它下面的每一行的第i项的系数.

之后我们考虑把考虑把从第n行开始到第2行为止的所有值回代到上一行中得到一个未知量的解即可.

分析一下时间复杂度，发现求上三角矩阵时间复杂度为 $O(n^3)$ ，回代的过程是 $O(n^2)$ 的，所以总时间复杂度为 $O(n^3)$ .

这里有一个避免精度误差的小技巧，就是求上三角矩阵时，每次消掉第i项系数绝对值最大的行，感性理解一下这可以尽量避免精度误差.

代码如下：

void gauss(matrix a){
  int r,n=a.n;
  double d;
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	r=i;
  	for (int j=i+1;j<=n;++j)
  	  if (fabs(a.a[r][i])<fabs(a.a[j][i])) r=j;
    if (i^r)
      for (int j=1;j<=n+1;++j)
        swap(a.a[i][j],a.a[r][j]);
    d=a.a[i][i];
	for (int j=i;j<=n+1;++j)
	  a.a[i][j]/=d;
	for (int j=i+1;j<=n;++j){
	  d=a.a[j][i];
	  for (int k=i;k<=n+1;++k)
	     a.a[j][k]-=a.a[i][k]*d;
	}
  }
  ans[n]=a.a[n][n+1];
  for (int i=n-1;i>=1;--i){
  	ans[i]=a.a[i][n+1];
  	for (int j=i+1;j<=n;++j)
  	  ans[i]-=a.a[i][j]*ans[j];
  }
}

三.线性方程组解的情况判定.

我们发现这个线性方程组的解不一定有唯一解，还有无解与无穷解的情况，为了判定解的情况，我们可以讨论一下.

首先在高斯消元过程中，若出现了方程 $0=d$ 这类情况（ $d$ 为常数），方程无组解.然后，在高斯消元结束后，若出现了系数均为0，常数不为0的行，说明方程组无解；若出现了系数不全为0的行，则说明方程有无穷解；进一步的，若系数不为0的行共有 $k$ 行，则最少需要确定 $n-k$ 个未知量的值，才能确定所有解.

四.例题与代码.

题目：luogu3389.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const double eps=0.0000001;
const int N=100;

struct matrix{
  double a[N+9][N+9];
  int n;
}a;
double ans[N+9];

int gauss(matrix a){      //唯一解返回0，其它情况返回1，答案存在ans数组中 
  int r,n=a.n;
  double d;
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	r=i;
  	for (int j=i+1;j<=n;++j)
  	  if (fabs(a.a[r][i])<fabs(a.a[j][i])) r=j;
	if (fabs(a.a[r][i])<eps) return 1;
    if (i^r)
      for (int j=1;j<=n+1;++j)
        swap(a.a[i][j],a.a[r][j]);
    d=a.a[i][i];
	for (int j=i;j<=n+1;++j)
	  a.a[i][j]/=d;
	for (int j=i+1;j<=n;++j){
	  d=a.a[j][i];
	  for (int k=i;k<=n+1;++k)
	     a.a[j][k]-=a.a[i][k]*d;
	}
  }
  ans[n]=a.a[n][n+1];
  for (int i=n-1;i>=1;--i){
  	ans[i]=a.a[i][n+1];
  	for (int j=i+1;j<=n;++j)
  	  ans[i]-=a.a[i][j]*ans[j];
  }
  return 0;
}

Abigail into(){
  scanf("%d",&a.n);
  for (int i=1;i<=a.n;++i)
    for (int j=1;j<=a.n+1;++j)
      scanf("%lf",&a.a[i][j]);
}

Abigail outo(){
  if (gauss(a)) puts("No Solution");
  else 
    for (int i=1;i<=a.n;++i)
      printf("%.2lf\n",ans[i]);
}

int main(){
  into();
  outo();
  return 0;
}

题目：BZOJ1013.
题目大意：给定在n维空间中n+1个点的坐标，求一个球的球心位置满足这个球经过这n+1个点.

很显然这n+1个点到球心的距离r相等，也就是说设球心为 $(a_1,a_2,...,a_n)$ ，每一个点 $(x_{i,1},x_{i,2},...,x_{i,n})$ 都满足：
$\sum_{k=1}^{n}(x_{i,k}-a_k)^2=r^2$
发现这个式子中的未知数只有a数组和r，由于题目中给出了n+1个坐标，考虑把相邻两个式子相减去掉 $r^2$ ，式子变为：
$\sum_{k=1}^{n}(x_{i,k}-a_k)^2-(x_{i+1,k}-a_k)^2=0\\ \sum_{k=1}^{n}x_{i,k}^2+a_k^2-2x_{i,k}a_k-x_{i+1,k}^2-a_k^2+2x_{i+1,k}a_k=0\\ \sum_{k=1}^{n}x_{i,k}^2-x_{i+1,k}^2+2a_k(x_{i+1,k}-x_{i,k})=0\\ \sum_{k=1}^{n}2(x_{i+1,k}-x_{i,k})a_k=\sum_{k=1}^{n}x_{i+1,k}^2-x_{i,k}^2$
发现这样子就只剩下一个包含n个方程和n个未知量的方程组了，高斯消元一下即可.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=10;

struct matrix{
  double a[N+9][N+9];
  int n;
}a;
double ans[N+9],e[N+9][N+9];
int n;

void gauss(matrix a){
  int r,n=a.n;
  double d;
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	r=i;
  	for (int j=i+1;j<=n;++j)
  	  if (fabs(a.a[j][i])>fabs(a.a[r][i])) r=j;
  	if (r^i)
  	  for (int j=1;j<=n+1;++j)
  	    swap(a.a[i][j],a.a[r][j]);
  	d=a.a[i][i];
  	for (int j=i;j<=n+1;++j)
  	  a.a[i][j]/=d;
    for (int j=i+1;j<=n;++j){
      d=a.a[j][i];
      for (int k=i;k<=n+1;++k)
        a.a[j][k]-=a.a[i][k]*d;
    }
  }
  ans[n]=a.a[n][n+1];
  for (int i=n-1;i>=1;--i){
    ans[i]=a.a[i][n+1];
    for (int j=i+1;j<=n;++j)
      ans[i]-=a.a[i][j]*ans[j];
  }
} 

Abigail into(){
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n+1;++i)
    for (int j=1;j<=n;++j)
      scanf("%lf",&e[i][j]);
}

Abigail work(){
  a.n=n;
  for (int i=1;i<=n;++i)
    for (int j=1;j<=n;++j)
      a.a[i][j]=2.0*(e[i+1][j]-e[i][j]),a.a[i][n+1]+=e[i+1][j]*e[i+1][j]-e[i][j]*e[i][j];
  gauss(a);
}

Abigail outo(){
  for (int i=1;i<n;++i)
    printf("%.3lf ",ans[i]);
  printf("%.3lf",ans[n]);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}

解线性方程组之高斯消元入门

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