题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/description/885/

输入一个 $n$ 元线性方程组，包含 $n$ 个方程，系数为实数。求解之。方程为： $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2\\...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$ 如果有无穷个解，则输出“Infinite group solutions”，如果无解，就输出“No solution”。答案保留 $2$ 位小数。

数据范围：
$1\le n\le 100$
$|a_{ij}|,|b_i|\le 100$

思路是高斯消元法。先定义三种变换，叫做矩阵的初等行变换：变换一，将两行调换；变换二，将某一行乘以一个非零常数；变换三，将某一行加上另一行的常数倍。算法分以下步骤来做：
1、从第一列开始进行循环，每次把当前列的绝对值最大的那一行换到最前面，然后通过变换二，将该行的第一个非零系数变为 $1$ ；
2、通过变换三，将这行主元的下面所有非零元素变为 $0$ ；
3、遍历下一列，重复进行上面操作。
遍历完前 $n$ 列后，如果当前没有走到最后一行的下一行，那说明简化之后的方程组的方程个数不足 $n$ ，那么这时必然是无解或无数解。则从系数全是 $0$ 的那行开始检查常数项，如果某个常数非 $0$ ，那就得到了 $0=b_i$ 这个方程，是无解的；如果常数都是 $0$ ，那是无数解；如果简化之后的方程组的方程个数恰好是 $n$ ，那说明是唯一解，我们只需要将系数矩阵通过变换三变成单位阵即可。但是这个时候可以只变常数项，因为我们需要的只是变换后的常数项，这才是方程的解。代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;

int n;
double a[N][N];

int gauss() {
    
    
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c++) {
    
    
    	// 先找到当前列的绝对值最大的那一行
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i++)
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
		
		// 如果当前列全是0，那扫描下一个列
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
		
		// 将这个绝对值最大的那一行换到最前面（其实这里的最前面并不是指第一行，而是指消元的时候阶梯的下一行）
        for (int i = c; i < n + 1; i++) swap(a[t][i], a[r][i]);
        // 把这一行的第一个系数（主元）变成1，其余系数相应除以主元的旧值
        for (int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];
        // 做第三类初等行变换，把当前列消掉
        for (int i = r + 1; i < n; i++)
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j--)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r++;
    }
	
	// 如果r < n，那说明最后的标准形的方程个数是小于n的，那不是唯一解
    if (r < n) {
    
    
    	// 检查左边系数全是0的方程中的常数项，如果发现一个非0，则无解
        for (int i = r; i < n; i++)
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2;
        // 否则是无穷解
        return 1;
    }
	
	// 如果r = n，则方程有唯一解，将方程组系数矩阵化为单位阵，其实这里只需
	// 要把常数项化一下就行了，系数不需要真的变，因为这时候解只需要看常数项
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];

    return 0;
}

int main() {
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n + 1; j++)
            cin >> a[i][j];

    int t = gauss();
	
	// 如果有唯一解，就把常数项输出来
    if (t == 0) {
    
    
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    } else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else puts("No solution");

    return 0;
}

时间复杂度 $O(n^3)$ ，空间 $O (1)$ 。

【ACWing】883. 高斯消元解线性方程组

题目地址：

猜你喜欢