把递归和迭代遍历树学个通透
1 二叉树基础扫盲
说道二叉树，大家对于二叉树其实都很熟悉了，本文呢我也不想教科书式的把二叉树的基础内容在啰嗦一遍，所以一下我讲的都是一些比较重点的内容。
1.1 二叉树的种类
在我们解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树。
满二叉树
- 如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。
完全二叉树
- 在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置
二叉搜索树和平衡二叉搜索树在之后更新的博客我会具体介绍
1.2 二叉树的存储方式
二叉树可以链式存储，也可以顺序存储
那么链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在散落在各个地址的节点串联一起。链式存储是大家很熟悉的一种方式，那么我们来看看如何顺序存储呢？ 其实就是用数组来存储二叉树，顺序存储的方式如图：
用数组来存储二叉树如何遍历的呢？如果父节点的数组下表是i，那么它的左孩子就是i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2，但是用链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树
1.2 二叉树的 C++ 定义
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {
}
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {
}
TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {
}
};
2 两种遍历方式
二叉树主要有两种遍历方式
- 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
- 广度优先遍历：一层一层的去遍历，这两种遍历是图论中最基本的两种遍历方式
那么从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，才有如下遍历方式
- 深度优先遍历：前序遍历（递归法，迭代法）、中序遍历（递归法，迭代法）、后序遍历（递归法，迭代法）
- 广度优先遍历：层序遍历（迭代法）
最后再说一说二叉树中深度优先和广度优先遍历实现方式，我们做二叉树相关题目，经常会使用递归的方式来实现深度优先遍历，也就是实现前中后序遍历，使用递归是比较方便的，栈其实就是递归的一种是实现结构，也就说前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使用非递归的方式来实现的，而广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的，因为需要先进先出的结构，才能一层一层的来遍历二叉树。
3 递归的方法论
这次我们要好好谈一谈递归，为什么很多同学看递归算法都是“一看就会，一写就废”。主要是对递归不成体系，没有方法论，每次写递归算法 ，都是靠玄学来写代码，代码能不能编过都靠运气。
每次写递归，都按照这三要素来写，可以保证大家写出正确的递归算法！
- 确定递归函数的参数和返回值
确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
- 确定终止条件
写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出
- 确定单层递归的逻辑
确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。
以下以前序遍历为例：
- 确定递归函数的参数和返回值：因为要打印出前序遍历节点的数值，所以参数里需要传入vector在放节点的数值，除了这一点就不需要在处理什么数据了也不需要有返回值，所以递归函数返回类型就是void，代码如下：
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec)
- 确定终止条件：在递归的过程中，如何算是递归结束了呢，当然是当前遍历的节点是空了，那么本层递归就要要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接return，代码如下：
if (cur == NULL) return;
- 确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的顺序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值，代码如下：
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
- 单层递归的逻辑就是按照中左右的顺序来处理的，这样二叉树的前序遍历，基本就写完了，在看一下完整代码：
class Solution {
public:
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
}
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
traversal(root, result);
return result;
}
};
那么前序遍历写出来之后，中序和后序遍历就不难理解了，代码如下：
- 中序遍历：
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
traversal(cur->left, vec); // 左
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->right, vec); // 右
}
- 后序遍历：
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
vec.push_back(cur->val); // 中
}
此时大家可以做一做leetcode上三道题目，分别是：
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-preorder-traversal/
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-postorder-traversal/submissions/
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/
4 二叉树和N叉树的前中后序的递归遍历
二叉树的前中后序遍历的递归方法请看第3节
N叉树的递归法前后序遍历和二叉树的道理是一样的，直接给出代码了哦
前序遍历：
https://leetcode-cn.com/problems/n-ary-tree-preorder-traversal/submissions/
class Solution {
public:
// N 叉树的前序遍历
// 法 1 ：递归法
void subPreOrder(Node* root, vector<int>& res) {
if (root == nullptr) return;
res.push_back(root->val);
for (int i = 0; i < root->children.size();i++) {
subPreOrder(root->children[i],res);
}
}
vector<int> preorder(Node* root) {
vector<int> result;
subPreOrder(root,result);
return result;
}
};
后序遍历：
https://leetcode-cn.com/problems/n-ary-tree-postorder-traversal/submissions/
class Solution {
public:
//N 叉树的后序遍历
// 法1 ：递归
void subpostorder(Node* root,vector<int>& res) {
if (root == nullptr) return;
for (int i = 0; i < root->children.size(); i++) {
subpostorder(root->children[i],res);
}
res.push_back(root->val);
}
vector<int> postorder(Node* root) {
vector<int> result;
subpostorder(root,result);
return result;
}
};
5 二叉树和N叉树的前中后序的迭代遍历
为什么可以用迭代法（非递归的方式）来实现二叉树的前后中序遍历呢？递归的实现就是：每一次递归调用都会把函数的局部变量、参数值和返回地址等压入调用栈中，然后递归返回的时候，从栈顶弹出上一次递归的各项参数，所以这就是递归为什么可以返回上一层位置的原因。
5.1 二叉树前序遍历
前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将跟节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子。为什么要先加入 右孩子，再加入左孩子呢？因为这样出栈的时候才是中左右的顺序。
代码如下：
class Solution {
public:
// 法二：迭代写前序遍历 ： 利用数据结构栈 中 左 右
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> stack;
if (root == nullptr) return result;
stack.push(root);
while (!stack.empty()) {
TreeNode* top = stack.top();
stack.pop();
result.push_back(top->val);
if (top->right) stack.push(top->right); //注意这里的顺序栈是先进后出
if (top->left) stack.push(top->left);
}
return result;
}
};
此时会发现貌似使用迭代法写出前序遍历并不难，确实不难。此时是不是想改一点前序遍历代码顺序就把中序遍历搞出来了？其实还真不行！但接下来，再用迭代法写中序遍历的时候，会发现套路又不一样了，目前的前序遍历的逻辑无法直接应用到中序遍历上。
5.2 二叉树中序遍历
为了解释清楚，我说明一下 刚刚在迭代的过程中，其实我们有两个操作：
- 处理：将元素放进result数组中
- 访问：遍历节点
分析一下为什么刚刚写的前序遍历的代码，不能和中序遍历通用呢，因为前序遍历的顺序是中左右，先访问的元素是中间节点，要处理的元素也是中间节点，所以刚刚才能写出相对简洁的代码，因为要访问的元素和要处理的元素顺序是一致的，都是中间节点。那么再看看中序遍历，中序遍历是左中右，先访问的是二叉树顶部的节点，然后一层一层向下访问，直到到达树左面的最底部，再开始处理节点（也就是在把节点的数值放进result数组中），这就造成了「处理顺序和访问顺序是不一致的。那么在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。
中序遍历，可以写出如下代码：
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
TreeNode* cur = root;
while (cur != NULL || !st.empty()) {
if (cur != NULL) {
// 指针来访问节点，访问到最底层
st.push(cur); // 讲访问的节点放进栈
cur = cur->left; // 左
} else {
cur = st.top(); // 从栈里弹出的数据，就是要处理的数据（放进result数组里的数据）
st.pop();
result.push_back(cur->val); // 中
cur = cur->right; // 右
}
}
return result;
}
};
5.3 二叉树后序遍历
再来看后序遍历，先序遍历是中左右，后续遍历是左右中，那么我们只需要调整一下先序遍历的代码顺序，就变成中右左的遍历顺序，然后在反转result数组，输出的结果顺序就是左右中了，哈哈，妙不妙
所以后序遍历只需要前序遍历的代码稍作修改就可以了，代码如下：
class Solution {
public:
// 法2： 迭代 把前序遍历代码稍作改动，然后逆置结果数组就是结果
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> stack;
if (root == nullptr) return result;
stack.push(root);
while (!stack.empty()) {
TreeNode* top = stack.top();
stack.pop();
result.push_back(top->val);
if (top->left) stack.push(top->left);
if (top->right) stack.push(top->right);
//中 右 左
}
reverse(result.begin(), result.end());
return result;
}
};
5.4 N叉树前序遍历
https://leetcode-cn.com/problems/n-ary-tree-preorder-traversal/submissions/
原理和二叉树一样，只不过一个节点有多个孩子了而已
代码如下：
class Solution {
public:
// 法2 迭代法：
vector<int> preorder(Node* root) {
vector<int> result;
stack<Node*> st;
if (root == nullptr) return result;
st.push(root);
while (!st.empty()) {
Node* node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
//入栈的顺序是反的
for (int i = node->children.size() - 1; i >= 0; i--) {
if (node->children[i])
st.push(node->children[i]);
}
}
return result;
}
};
5.4 N叉树后序遍历
https://leetcode-cn.com/problems/n-ary-tree-postorder-traversal/submissions/
原理和二叉树一样，只不过一个节点有多个孩子了而已
代码如下：
class Solution {
public:
// 法2：迭代 后序：左 右 中 类比二叉树 中 右 左 逆置结果数组即可 只需要把前序遍历的代码稍作改动，改变子结点入栈的顺序
vector<int> postorder(Node* root) {
vector<int> result;
stack<Node*> st;
if (root == nullptr) return result;
st.push(root);
while (!st.empty()) {
Node* node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
for (int i = 0; i < node->children.size(); i++) {
if (node->children[i] != nullptr)
st.push(node->children[i]);
}
}
reverse(result.begin(),result.end());
return result;
}
};
6 二叉树和N叉树的层序遍历
给你一个二叉树，请你返回其按 层序遍历 得到的节点值。（即逐层地，从左到右访问所有节点）。
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/submissions/
会了二叉树的层序遍历，你也可以像叶师傅一样打十个了
层序遍历一个二叉树。就是从左到右一层一层的去遍历二叉树。这种遍历的方式和我们之前讲过的都不太一样。需要借用一个辅助数据结构即队列来实现，队列先进先出，符合一层一层遍历的逻辑，而是用栈先进后出适合模拟深度优先遍历也就是递归的逻辑。而这种层序遍历方式就是图论中的广度优先遍历，只不过我们应用在二叉树上。
代码如下：
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/submissions/
class Solution {
public:
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
queue<TreeNode*> queue;
vector<vector<int>> result;
if (root != nullptr) {
queue.push(root);
}
while (!queue.empty()) {
//处理每一层的结点
vector<int> subResult;
int size = queue.size(); //size 必须要在这确定，因为在for 循环中队列一直都在入结点，size 一直都在变化
for (int i = 0; i < size; i++) {
TreeNode* front = queue.front();
queue.pop();
subResult.push_back(front->val);
if (front->left != nullptr) {
queue.push(front->left);
}
if (front->right != nullptr) {
queue.push(front->right);
}
}
result.push_back(subResult);
}
return result;
}
};
N叉树的层序遍历，和二叉树道理一样，只不过有多个子结点，需要用循环来处理
class Solution {
public:
vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {
//N 叉树的层序遍历
vector<vector<int>> result;
queue<Node*> queue;
if (root != nullptr) queue.push(root);
while (!queue.empty()) {
int size = queue.size();
vector<int> subRes;
for (int i = 0; i < size; i++) {
Node* node = queue.front();
queue.pop();
subRes.push_back(node->val);
for (int j = 0; j < node->children.size(); j++) {
if (node->children[j] != nullptr)
queue.push(node->children[j]);
}
}
result.push_back(subRes);
}
return result;
}
};
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/submissions/
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal-ii/submissions/
https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-right-side-view/（阿里考个这个哦）
https://leetcode-cn.com/problems/average-of-levels-in-binary-tree/submissions/
https://leetcode-cn.com/problems/n-ary-tree-level-order-traversal/submissions/