二叉树的前序、中序和后序遍历（递归和非递归的方法）

二叉树的前序、中序和后序遍历（递归和非递归的方法）

二叉树的基础概念

二叉树： 是每个节点最多只有两个分支的树结构。通常分支被称为”左子树“和”右子树“。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

下图是一棵二叉树

二叉树还有如下的性质：

1. 二叉树的第 $i$ 层至多有 $2^{i-1}$ 个节点
2. 深度为 $k$ 的二叉树至多有 $2^k-1$ 个节点
3. 一颗含有 $n$ 个节点的二叉树，它的深度至少为 $logn+1$
4. 对于任意一颗二叉树T，如果T的叶子节点数为 $n_0$，度为2的节点个数为 $n_2$，则 $n_0 = n_2+1$

这里证明一下性质4：

对于一颗二叉树而言，他的每一个节点的度都做多为2，那么节点的总数 $n$ ，就可以是 “度为零的节点 $n_0$”+“度为一的节点 n_1” + “度为二的节点 N-2”，即
$n=n_0+n_1+n_2 \quad\quad\quad (1)$
那么度为0的节点没有孩子，度为1的节点有1个孩子，度为2的节点含有两个孩子，所以可以计算一颗二叉树孩子节点的总数为 $0 \times n_0 + 1 \times n_1 + 2\times n_2 = n_1+2n_2$，根节点不属于任何节点的孩子，所以总共的节点数
$n=n_1+2n_2+1 \quad\quad\quad (2)$
所以 $(2)-(1)$ 可以得到 $n_0 = n_2+1$

二叉树的遍历： 指的是从根节点出发，按照某种次序访问二叉树中所有节点，使得每个节点被访问一次且仅被访问一次。

这里介绍的是二叉树的先序、中序、后序遍历方法及其代码实现（包括递归和非递归方法）。
三种遍历方法的思想：

• 先序：根结点 —> 左子树 —> 右子树
• 中序：左子树—> 根结点 —> 右子树
• 后序：左子树 —> 右子树 —> 根结点

先序遍历

先序遍历，先访问根节点，然后先序遍历左子树，在先序遍历右子树（根左右），如下图所示，是二叉树的先序遍历步骤，输出结果为 [1,2,4,5,7,8,3,6]

采用递归的方法很简单，代码如下：

void recursionPreorder(TreeNode* root) {
	if (root == NULL) {  
		return;
	}
	cout << root->val << " "; 
	recursionPreorder(root->left);
	recursionPreorder(root->right);
}

对于上述递归的方法，即如果符合条件就直接打印（或者存储），不符合的情况就递归，递归就是把数据压入栈中，那么使用非递归的方法就可以使用栈结构来存储左右节点，需要的时候再把节点弹出。对于先序遍历来讲，其顺序为 “根左右”，那么如果想从栈中弹出此顺序，就需要先压入右节点再压入左节点。这里我做了一个动画，描述一下使用栈是怎么实现先序遍历的

代码实现（非递归）

void preorder(TreeNode* root) {
	
	if (root == NULL) {
		return;
	}
	TreeNode* cur = root;
	stack<TreeNode*> nodeStack;
	nodeStack.push(cur);
	while (!nodeStack.empty()) {
		cur = nodeStack.top();   // 弹出栈顶
		cout << cur->val << " ";
		nodeStack.pop();
        // 先压入右节点
		if (cur->right) {
			nodeStack.push(cur->right);
		}
        // 后压入左节点
		if (cur->left) {
			nodeStack.push(cur->left);
		}
	}
	cout << endl;
}

中序遍历

中序遍历，中序遍历根节点的左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树（左根右），如下图所示，是二叉树的中序遍历步骤，输出结果为 [4,2,7,5,8,1,3,6]。

递归的方法实现中序遍历，代码如下：

void recursionInorder(TreeNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return;
	}

	recursionInorder(root->left);
	cout << root->val << " ";
	recursionInorder(root->right);
}

想实现非递归版本的，同样的使用栈的操作。在递归版本的代码中，先把左侧的所有的节点都压入栈中，然后弹出一个节点，同样的把弹出的节点的左孩子全部压入栈中，然后弹出，压入一个右节点。所以对于中序遍历来说，需要做的操作是，通过给定的节点，先把其所有的左孩子压入栈中；如果为空，同样的方式遍历右孩子。来一个动画继续说明一下这个过程：

代码实现：

void inorder(TreeNode* root) {
	// 节点是否为空
    if (root == NULL) {
		return;
	}
    
	stack<TreeNode*> inStack; // 存储节点
    // 循环结束的条件是栈为空并且节点为空
	while (!inStack.empty() || root != NULL) {
        // 当节点不为空，向栈里添加左节点
		if (root) {
			inStack.push(root);
			root = root->left;
		}
		else {   // 节点为空，弹出栈顶元素作为根节点，打印，并查找其右节点
			root = inStack.top();
			cout << root->val << " ";
			inStack.pop();
			root = root->right;
		}
	}
	cout << endl;
}

后序遍历

后序遍历，从左到右先遍历叶子后节点的方式遍历访问左右子树，最后访问根节点（左右根），如下图所示，是二叉树的后序遍历步骤，输出结果为 [4,7,8,5,2,6,3,1]。

递归的方法实现后序遍历，代码如下：

void recursionPostorder(TreeNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return;
	}

	recursionPostorder(root->left);
	recursionPostorder(root->right);
	cout << root->val << " ";
}

同样的根据递归压榨的方法，这里需要一些技巧，先序遍历的时候是先压入右节点后压入左节点，这样栈弹出的顺序就是 “根左右”。后序遍历的顺序是 “左右根”，这样的话就需要两个栈，其中一个栈按照先压入左节点，再压入右节点的顺序，然后弹出后，存储到另一个栈中，变为 “根右左”，那么我们把整体的栈弹出以后，就变成了 “左右根”。上述过程用动画表示如下：

代码实现：

void postorder(TreeNode* root) {
    // 根节点是否为空
	if (root == NULL) {
		return;
	}
    // 定义两个栈，用于数据存储，第一个栈调整数据，第二个栈用于后序遍历弹出
	stack<TreeNode*> postStack1;
	stack<TreeNode*> postStack2;

	postStack1.push(root);  // 把根节点压入第一个栈中

    // 利用postStack1把所有数据压入postStack2中
	while (!postStack1.empty()) {
		root = postStack1.top();       
		postStack2.push(root);
		postStack1.pop();
        // 先压入左节点
		if (root->left) {
			postStack1.push(root->left);
		}
        // 后压入右节点
		if (root->right) {
			postStack1.push(root->right);
		}
	}
    
    // 把postStack2弹出就是后序遍历
	while (!postStack2.empty()) {
		cout << postStack2.top()->val << " ";
		postStack2.pop();
	}
	cout << endl;
}

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