Codeforces 1497D DP

题意

传送门 Codeforces 1497D Genius

题解

观察 $|c_i-c_j|$，设 $i<j$，结果为二进制表示下第 $[i,j-1]$ 位为 $1$ 的数字；则对于不同的 $(i,j)$ 对，$|c_i-c_j|$ 值不同。若将状态表示为路径终点与路径上边权可以取到的最大值组成的二元组，以 $|c_i-c_j|$ 为边权进行连边，则得到一个 $DAG$，且路径上的边权单调递增。

$dp[i][k]$ 代表路径以 $i$ 为终点，路劲上权值可以取到的最大值为 $k$ 时，可以获取的最大点数。设 $k=|c_i-c_j|$，且 $ta{g}_i\ne ta{g}_j$，设 $pre(k)$ 为小于 $k$ 的最大边权，则有
{ d p [ i ] [ k ] = max ⁡ { d p [ i ] [ p r e ( k ) ] , d p [ j ] [ p r e ( k ) ] + ∣ c i − c j ∣ } d p [ j ] [ k ] = max ⁡ { d p [ j ] [ p r e ( k ) ] , d p [ i ] [ p r e ( k ) ] + ∣ c i − c j ∣ } \begin{cases}dp[i][k]=\max\{dp[i][pre(k)],dp[j][pre(k)]+ \lvert c_i-c_j\rvert\}\\ dp[j][k]=\max\{dp[j][pre(k)],dp[i][pre(k)]+ \lvert c_i-c_j\rvert\}\end{cases} { dp[i][k]=max{ dp[i][pre(k)],dp[j][pre(k)]+∣ci​−cj​∣}dp[j][k]=max{ dp[j][pre(k)],dp[i][pre(k)]+∣ci​−cj​∣}​ 以路径上可以选取的边权递增的顺序 $DP$，即 $i(1\le i\le n)$ 递增，$j(1\le j\le i-1)$ 递减；实现上压缩为一维 $DP$。最后枚举路径终点，更新答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5005;
int T, N, tag[maxn], s[maxn];
ll dp[maxn];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
    
    
        scanf("%d", &N);
        for (int i = 1; i <= N; ++i)
            scanf("%d", tag + i);
        for (int i = 1; i <= N; ++i)
            scanf("%d", s + i);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= N; ++i)
            for (int j = i - 1; j; --j)
            {
    
    
                if (tag[i] == tag[j])
                    continue;
                ll xi = dp[i], xj = dp[j], d = abs(s[i] - s[j]);
                dp[i] = max(dp[i], xj + d), dp[j] = max(dp[j], xi + d);
            }
        printf("%lld\n", *max_element(dp + 1, dp + N + 1));
    }
    return 0;
}