【ACWing】7. 混合背包问题

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/7/

有$N$种物品和一个容量是$V$的背包。物品一共有三类：第一类物品只能用$1$次（$0-1$背包）；第二类物品可以用无限次（完全背包）；第三类物品最多只能用$s_i$次（多重背包）；每种体积是$v_i$，价值是$w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式：
第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。接下来有$N$行，每行三个整数$v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第$i$种物品的体积、价值和数量。$s_i=-1$表示第$i$种物品只能用$1$次；$s_i=0$表示第$i$种物品可以用无限次；$s_i>0$表示第$i$种物品可以使用$s_i$次；

输出格式：
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：
$0<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 1000$
$-1\le si\le 1000$

思路还是动态规划，状态表示是$f[i][j]$，表示前$i$个物品里选并且体积不超过$j$的最大价值，可以按照第$i$个物品选还是不选分类。对于$s_i=-1$，可以用$0-1$背包的方式递推；对于$s_i=0$，可以用完全背包的方式递推；对于$s_i>0$，可以用多重背包的方式递推，但是这里需要加上二进制优化，以防超时。参考：
1、$0-1$背包：https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113668186；
2、完全背包：https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113834289；
3、多重背包二进制优化版：https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113840962。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        if (s == 0) 
            for (int j = v; j <= m; j++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        else {
    
    
        	// 0-1背包问题可以看成是物品只有1个的多重背包问题
            if (s == -1) s = 1;
            // 二进制优化
            for (int k = 1; k <= s; k *= 2) {
    
    
                for (int j = m; j >= k * v; j--) 
                    f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                s -= k;
            }

            if (s)
                for (int j = m; j >= s * v; j--)
                    f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
        }
    }    

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(V((N-k)+{\sum }_{i=1}^k\log s_i))$，其中$k$是可以使用$s_i$次的物品种类数（即要二进制优化的物品种类数），空间$O(V)$。